陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2020届高三数学3月联考试 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/23 14:13:59星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

【答案】(1)见解析;(2)①0.9544,②863200. 【解析】 【分析】

(1)由频率分布图求出[95,105)的频率,由此能作出补全频率分布直方图; (2)求出质量指标值的样本平均数、质量指标值的样本方差; (3)运用离散型随机变量的期望和方差公式,即可求出;

①由(2)知Z~N(100,104),从而求出P(79.6<Z<120.4),注意运用所给数据; ②设这种产品每件利润为随机变量E(X),即可求得EX.

【详解】(1)由频率分布直方图得:[95,105)的频率为:1﹣(0.006+0.026+0.022+0.008)×10=0.038,补全上面的频率分布直方图(用阴影表示):

质量指标值的样本平均数为:

=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100. 质量指标值的样本方差为

S2=(﹣20)2×0.06+(﹣10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104.

(2)①由(1)知Z~N(100,104),从而P(79.6<Z<120.4)=P(100﹣2×10.2<Z<100+2×10.2)=0.9544;

②由①知一件产品的质量指标值位于区间(79.6,120.4)的概率为0.9544, 该企业的年利润是EX=100000[0.9544×10﹣(1﹣0.9544)×20]=863200.

【点睛】本题考查频率分布直方图的作法,考查平均数、方差的求法,以及正态分布的特点及概率求解,考查运算能力,属于中档题. 20.已知椭圆C过点

,两个焦点

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)设直线l交椭圆C于A,B两点,且|AB|=6,求△AOB面积的最大值. 【答案】(1)【解析】 【分析】

(1)由已知可设椭圆方程为

(a>b>0),且c,再由椭圆定义求得a,结

;(2)9

合隐含条件求得b,则椭圆方程可求;

(2)当直线AB的斜率不存在时,设直线方程为x=m,由弦长求得m,可得三角形AOB的面积;当直线AB的斜率存在时,设直线方程为y=kx+m,联立直线方程与椭圆方程,结合根与系数的关系及弦长可得m与k的关系,再由点到直线的距离公式求出原点O到AB的距离,代入三角形面积公式,化简后利用二次函数求最值,则答案可求. 【详解】解:(1)由题意,设椭圆方程为且c,2a2

2

2

(a>b>0),

12,

则a=6,∴b=a﹣c=12. ∴椭圆C的标准方程为

(2)当直线AB的斜率不存在时,设直线方程为x=m, 得|AB|

由|AB|此时

6,解得m=±3, ;

当直线AB的斜率存在时,设直线方程为y=kx+m, 联立

,得(3k+1)x+6kmx+3m﹣36=0.

2

2

2

△=36k2m2﹣4(3k2+1)(3m2﹣36)=432k2﹣12m2+144. 设A(,),B(,), 则

由|AB|6,

整理得:,原点O到AB的距离d.

当时,△AOB面积有最大值为9.

综上,△AOB面积的最大值为9.

【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法:(1)几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决;(2)代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑:①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;②利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;③利用基本不等式求出参数的取值范围;④利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围. 21.已知函数f(x)=e﹣(1)求实数a的取值范围;

(2)若函数f(x)的两个极值点分别为x1,x2,求证:x1+x2>2. 【答案】(1)(e,+∞);(2)见解析 【解析】

x

有两个极值点.

【分析】

(1)f′(x)=ex﹣ax.函数f(x)=ex有两个极值点?f′(x)=ex﹣ax,令g(x)

,(x≠0).利

=0有两个实数根.x=0时不满足上述方程,方程化为:a用导数已经其单调性即可得出.

(2)由(1)可知:a>e时,函数f(x)有两个极值点分别为,x2,不妨设<,+>2?>2﹣>1?

,由

,因此即证明:

.构造函数h(x)

,0<x<1,2﹣x>1.利用导数已经其单调性即可得出.

【详解】(1)解:f′(x)=ex﹣ax. ∵函数f(x)=exx有两个极值点.

∴f′(x)=e﹣ax=0有两个实数根.

x=0时不满足上述方程,

方程化为:a令g(x)

, ,(x≠0).

g′(x)

可得:x<0时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减;0<x<1时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减;x>1时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增.

a>e时,方程f′(x)=ex﹣ax=0有两个实数根.

∴实数a的取值范围是(e,+∞).

(2)证明:由(1)可知:a>e时,函数f(x)有两个极值点分别为x1,x2,不妨设x1<

x2.

证明:+>2?>2﹣>1?

由,因此即证明:.

构造函数h(x),0<x<1,2﹣x>1.

h′(x)

令函数u(x)

,(0<x). .

(x﹣1),

u′(x)

可得函数u(x)在(0,1)内单调递减,于是函数v(x)递减.

在(0,1)内单调

v(x)≥v(1)=0.

∴x=1时,函数h(x)取得极小值即最小值,h(1)=0. ∴h(x)>h(1)=0. ∴

因此+>2成立.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.

22.已知曲线C的极坐标方程为ρ=0≤α<π).

(1)把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明曲线C的形状; (2)若直线l经过点(1,0),求直线l被曲线C截得的线段AB的长.

【答案】(1)曲线C:y2=4x,顶点为O(0,0),焦点为F(1,0)的抛物线;(2)8 【解析】

,直线l的参数方程为

(t为参数,