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【2019最新】高中数学第二章圆锥曲线与方程2-1曲线与方程课堂
探究学案
课堂探究
探究一 曲线与方程的概念问题
曲线与方程的定义表明：曲线C的方程是F(x，y)＝0的充分必要条件是曲线C上所有点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，并且以方程F(x，y)＝0的实数解为坐标的点都在曲线
C上，这是识别曲线和方程关系的基本依据．
判断点与曲线关系的方法 (1)从点的坐标角度
若点M(x0，y0)在方程f(x，y)＝0所表示的曲线C上，则f(x0，y0)＝0；或若f(x0，y0)≠0，则点M(x0，y0)不在方程f(x，y)＝0表示的曲线C上．
(2)从方程的解的角度
若f(x0，y0)＝0，则点M(x0，y0)在方程f(x，y)＝0所表示的曲线C上；或若点M(x0，
y0)不在方程f(x，y)＝0表示的曲线C上，则f(x0，y0)≠0.
【典型例题1】 如果曲线C上所有点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，那么以下说法正确的是( )
A．以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 B．以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点有些不在曲线C上 C．不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x，y)＝0的解 D．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上
解析：由题意可知，曲线C上的所有点构成的集合是方程F(x，y)＝0的解构成的集合的子集，它包含两种情形：①真子集；②相等．
据以上可知，选项A，B，C都是不正确的，只有选项D是正确的． 答案：D
探究二 曲线方程的求法
解决求曲线方程问题通常按以下三大步骤进行：
(1)建立恰当的坐标系：曲线方程的实质即为曲线上的任一点的横、纵坐标的关系式，首先要建立恰当的直角坐标系(坐标系的建立，直接影响曲线方程的繁简)．
(2)利用题目条件，建立等量关系：根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重要一环，常用到一些基本公式，如两点间的距离公式等，仔细审题，用已知条件和曲线的特征，抓住与曲线上的任意点M有关的相关关系结合基本公式列出等式进行化简．
(3)挖掘题目隐含条件，避免“少解”与“多解”：在求曲线方程时，由于忽视了题目中的隐含条件，出现不符合题意的点，或在方程进行不等价变形的过程中容易丢掉、增加解，
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因此在求曲线方程后应根据条件将多余的点剔除，将遗漏的点补上．
【典型例题2】 已知平面上两个定点A，B之间的距离为2a，点M到A，B两点的距离之比为2∶1，求动点M的轨迹方程．
思路分析：因为已知条件中未给定坐标系，所以需“恰当”建立坐标系．考虑到对称性，由|AB|＝2a，选A，B两点所在的直线为x轴，AB中点为坐标原点，则A(－a,0)，B(a,0)，然后求解．
解：如图所示，以两定点A，B所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系．
由|AB|＝2a，可设A(－a,0)，B(a,0)，M(x，y)． 因为|MA|∶|MB|＝2∶1，
所以(x＋a)＋y∶(x－a)＋y＝2∶1， 所以(x＋a)＋y＝2(x－a)＋y.
2
2
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?5?22162
化简，得?x－a?＋y＝a，
9?3?
所以所求动点M的轨迹方程为
?x－5a?2＋y2＝16a2.
?3?9??
【典型例题3】 长为3的线段AB的端点A，B分别在x轴、y轴上移动，动点C(x，y)→→
满足AC＝2CB，求动点C的轨迹方程．
思路分析：A，B分别在x轴、y轴上移动，可设A(x0,0)，B(0，y0)，又动点C(x，y)→→
满足AC＝2CB，代入即可得轨迹方程．
解：因为长为3的线段AB的端点A，B分别在x轴、y轴上移动， 故可设A(x0,0)，B(0，y0)． →→
又因为动点C(x，y)满足AC＝2CB， 所以(x－x0，y)＝2(0－x，y0－y)， 即(x－x0，y)＝(－2x，2y0－2y)，
?x－x0＝－2x，?所以?
??y＝2y0－2y
x0＝3x，??
??3
y0＝y.?2?
又因为|AB|＝3，
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22即x0?y0＝9，
?3?22
所以(3x)＋?y?＝9.
?2?
整理得动点C的轨迹方程为x＋＝1.
4方法总结 求曲线方程常见方法的注意点
(1)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如直线、圆等)，可用定义直接探求．
(2)相关点代入法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程，有时也称代入法．其基本思想是，如果所求轨迹中的动点随着另一动点的运动而运动，另一动点又在某一条已知的曲线C：f(x，y)＝0上运动，那么利用轨迹中的动点坐标(x，y)表示已知曲线上的动点(x1，y1)，再将它代入已知曲线C的方程f(x，y)＝0即可求得动点轨迹方程．
(3)待定系数法：根据题意正确设出曲线方程，明确待定系数，寻找待定系数的方程时一定要充分挖掘题中条件，特别注意隐含条件．
探究三 求曲线的交点问题
已知曲线C1和曲线C2的方程分别为F(x，y)＝0，G(x，y)＝0，则点P(x0，y0)是曲线
??F(x，y)＝0，
C1，C2的交点?点P的坐标(x0，y0)满足方程组?
?G(x，y)＝0，?
2
y2
且方程组有几组不同的实
数解，两条曲线就有几个不同的交点；方程组没有实数解，两条曲线就没有交点．
【典型例题4】 试讨论圆x＋(y－1)＝4与直线y＝k(x－2)＋4(k为参数)交点的个数． 思路分析：只需把直线方程与圆方程联立，求方程组解的个数即可．
??y＝k(x－2)＋4，
解：由?22
?x＋(y－1)＝4，?
2
2
2
2
2
2
得(1＋k)x＋2k(3－2k)x＋(3－2k)－4＝0，
Δ＝4k(3－2k)－4(1＋k)[(3－2k)－4]＝4(12k－5)． 5
当Δ＞0，即k＞时，直线与圆有两个不同的交点；
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当Δ＝0，即k＝时，直线与圆有一个交点；
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当Δ＜0，即k＜时，直线与圆没有交点．
12探究四 易错辨析 易错点 忽视验证造成增解
【典型例题5】 求以A(－2,0)，B(2,0)为直径端点的圆内接三角形的顶点C的轨迹方程．
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