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上海市2019年中考数学压轴题专项训练含答案

1.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）

如图，已知抛物线y?x2?bx?c经过A?0，?1?、B?4，?3?两点. （1）求抛物线的解析式； （2 求tan?ABO的值；

（3）过点B作BC?x轴，垂足为点C，点M是抛物线上一点，直线MN平行于y轴交直线AB于点N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标.

1.解：（1）将A（0，-1）、B（4，-3）分别代入y?x?bx?c

得?2yoAB（第24题图） x?c??1,， ………………………………………………………………（1分）

16?4b?c??3?9,c??1…………………………………………………………………(1分) 2

9所以抛物线的解析式为y?x2?x?1……………………………………………（1分）

2

解，得b??（2）过点B作BC?x轴，垂足为C，过点A作AH?OB，垂足为点H ………（1

1

分）

4,……………………………（1分） 5

4322∴AH?OAsin?AOH?，∴OH?,BH?OB?OH?， ………………（1分）

555AH4222???在Rt?ABH中，tan?ABO?………………………………（1分） BH5511

在Rt?AOH中，OA=1，sin?AOH?sin?OBC?1 ……………………………………………（1分） x?1，

291设点M的坐标为(m,m2?m?1)，点N坐标为(m,?m?1)

22(3)直线AB的解析式为y??那么MN=(m2?91（1分） m?1)?(?m?1)?m2?4m； …………………………

22∵M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，∴MN=BC=3

解方程m2?4m=3得m?2?7； ……………………………………………（1分） 解方程?m2?4m?3得m?1或m?3； ………………………………………（1分）

所以符合题意的点N有4个(2?7,7735?2),(2?7,??2),(1,?),(3,?) 2222 ……………………………………………………………………………………（1分）

2.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）

在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，经过点B的直线l（l不与直线AB重合）与直线BC的夹角等于∠ABC，分别过点C、点A作直线l的垂线，垂足分别为点D、点E．

（1）如图1，当点E与点B重合时，若AE=4，判断以C点为圆心CD长为半径的圆C与

2

直线AB的位置关系并说明理由；

（2）如图2，当点E在DB延长线上时，求证：AE=2CD；

A AB相交于点F，若CF?5，CD = 4，求BD的长． （3）记直线CE与直线EF6

D

B(E)

l

D B

（第25题图2）

C

C

A

（第25题图1）

E

l

2.解：（1）过点C作CF⊥AB，垂足为点F. ……………………………………………（1分） ∵∠AED=90°，∠ABC=∠CBD，∴∠ABC=∠CBD =45°，

∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，AE=4，∴CF=2，BC=22，…………………………（1分） 又∵∠CBD=∠ABC=45°，CD⊥l，∴CD=2， …………………………………………（1分） ∴CD=CF=2，∴圆C与直线AB相切.……………………………………………………（1分） （2）证明：延长AC交直线l于点G． ………………………………………………（1分） ∵∠ACB = 90°，∠ABC =∠GBC，∴∠BAC =∠BGC．

∴AB = GB．…………………………………………………………………………………（1分） ∴AC = GC．…………………………………………………………………………………（1分） ∵AE⊥l，CD⊥l，∴AE∥CD． ∴

CDGC1??． …………………………………………………………………………（1分） AEGA23