内容发布更新时间 : 2024/5/18 7:56:56星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
椭圆的简单的几何性质（2）
一、选择题
1．已知m、n、m＋n成等差数列，m、n、mn成等比数列，则椭圆x2y2
m＋n＝1的离心率为( )
A.1
2 B．3
3 C．
2
2
D．
32
[答案] C
[解析] 由已知得??
?2n＝m＋m＋n，??n2＝m2
n.
解得?
??m＝2，n－m??n＝4.
∴e＝
n＝2
2
，故选C. x2AB为过椭圆y2
2．a2＋b2＝1中心的弦，F(c,0)为椭圆的左焦点，则△AFB的面积最大值是( )
A．b2
B．bc C．ab D．ac
[答案] B
3．若点P(a,1)在椭圆x2y2
2＋3＝1的外部，则a的取值范围为( )
A．(－23233，3) B．(23－233，＋∞)∪(－∞，3) C．(4
3，＋∞)
D．(－∞，－43
)
[答案] B
[解析] 因为点P在椭圆x2y2a212
23－23
2＋3＝1的外部，所以2＋3>1，解得a>3或a<3
，故选B.
4．点P为椭圆x2y2
5＋4＝1上一点，以点P及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为( A．(±
15
2
，1) B．(
15
2
，±1) )
C．(15
，1) 2
D．(±15
，±1) 2
[答案] D
[解析] 设P(x0，y0)，∵a＝5，b＝4，∴c＝1， 1
∴S△PF1F2＝|F1F2|·|y0|＝|y0|＝1，∴y0＝±1，
2∵＋＝1， 54∴x0＝±
15
.故选D. 2
2
2
x2y200
二、填空题
5．若过椭圆＋＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________________________．
164[答案] x＋2y－4＝0
[解析] 设弦两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减并把x1＋x2＝4，y1＋y2＝2
164164代入得，
x2y2
x21y21x22y22
y1－y21
＝－， x1－x22
1
∴所求直线方程为y－1＝－(x－2)，
2即x＋2y－4＝0.
x2y23
6．设F1、F2分别为椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A(1，)到F1、F2两点的
ab2
距离之和为4，则椭圆C的方程是________，焦点坐标是________． [答案]
x2y2
4
＋＝1 (±1,0)
3
x2y2a7．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使＝absin∠PF1F2
成立，则该椭圆的离心率的取值范围为__________________．
sin∠PF2F1
[答案] (2－1,1)
c
[解析] 由正弦定理及＝，得
sin∠PF1F2sin∠PF2F1
accsin∠PF2F1|PF1|＝＝. asin∠PF1F2|PF2|
在△PF1F2中，设|PF2|＝x，则|PF1|＝2a－x.
2
c2a－x2a2
则上式为＝，即cx＋ax＝2a，x＝.
axa＋c2a又a－c a＋c2a22 由a－c<，得a>－c，显然恒成立． a＋c2a22由 2 2 c2＋2ac－a2>0，即e2＋2e－1>0， 解得e>－1＋2或e<－1－2(舍)． 又0 所以e的取值范围为(2－1,1)． 三、解答题 x2y23 8．设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为. ab5 (1)求椭圆C的方程； 4 (2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标． 5 44 (2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)， 55 4x设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入椭圆方程得＋ 525即x－3x－8＝0，由韦达定理得x1＋x2＝3，所以线段AB中点的横坐标为36 即所截线段的中点坐标为(，－)． 25 2 2 x－ 25 2 ＝1， x1＋x23 2436 ＝，纵坐标为(－3)＝－，2525