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三点共线向量表示形式的应用举例

作者：祁荣香

来源：《读写算》2012年第79期

三点共线的充要条件：已知O、A、B是不共线的三点，且存在实数x，v使得OP=xOA+yOB，则A、B、P三点共线的充要条件是x+y=1。

这是三点共线的一个充要条件，主要以向量形式表述，用其来解决一些与三点共线有关的问题，显得非常简便和巧妙。举例如下： 一、解决与三点共线有关的求值问题

如图中△ABC，AN=13AC，P是BN上的一点，若AP=mAB+211AC，则m的值为. 解：∵AN=13AC，

∴AP=mAB+211AC=mAB+611AN 又B、P、N三点共线， ∵m+611=1 ∴m=511

本题直接利用三点共线的向量式中x+y=1来解决.

2.△ABC中，O点是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N。若AB=mAM，AC=nAN，则m+n=. 解：∵AO=12AB+12AC 又AB=mAM，AC=nAN ∴AO=m2AM+n2AN 又O、M、N三点共线， ∴m2+N2=1 即m+n=2

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3.变式：△ABC中，点O是BC的中点，K为AO上一点，且AO=2AK.过点K的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N。若AB=mAM，AC=nAN，则m+n=. 解：∵AO=12AB+12AC AB=mAM，AC=nAN ∴AO=m2AM+n2AN， 又AO=2AK

∴2AK=m2AM+n2AN ∴AK=m4AM+n4AN 又K、M、N三点共线， ∴m4+n4=1即m+n=4

以上两题实质都是以AO为桥梁，利用三点共线的充要条件整体求值，体现了三点共线的向量式x+y=1中在求值问题（尤其是整体求值） 中的重要作用. 二、在向量的表示中的应用

4.△ABC中，点E在AB边上，F在边AC上，且AE=2EB，AF=13FC，BF与CE交于点M，设AM=xAE+yAF，则x+y=. 解法一：

∵E、M、C三点共线， ∴设AM=mAE+（1-m）AC 又AC=4AF

∴AM=mAE+4（1-m）AF① ∵B、M、F三点共线 ∴设AM=nAB+（1-n）AF 又AB=32AE

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∴AM=32nAE=（1-n）AF②

又AE，AF又不共线， ∴32n=m1-n=4（1-m） 解得m=910n=35，∴AM=910AE+410AF ∴x+y=1310

此种解法主要通过两组三点共线的向量式设定系数，用同一组基底来表示向量AM，再结合平面向量基本定理求解系数。 解法二 ∵AE=23AB

∴AM=xAE+yAF=23xAB+yAF 又B、M、F三点共线 ∴23x+y=1① ∵AF=13AC ∴AM=xAE+13yAC 又E、M、C三点共线， ∴x+13y=1②

由①②可得x=910，y=410 ∴x+y=1310

此种解法直接由题目中给出的向量表示形式，变形出两组三点共线的向量表示结构，结合三点共线的向量式中x+y=1列方程组求解。在此类向量表示的题目中，利用三点共线的充要条件（向量式）解决显得更为清晰、简洁巧妙。 三、解决几何图形中，点的定位问题

5.△ABC中，O为外心，且AO=xAB+yAC，x+2y=1，AB=2，AC=3求cos∠BAC. 解析∵AO=xAB+yAC