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高二数学讲义（35）

应用导数解决实际问题（2）

【教学目标】

1.培养读题能力，学会提取建模信息；

2.建立关于“长度”“面积”“体积”度量的实际问题的数学模型； 3.学会解模并正确解答.

4.进一步体会导数的工具性作用，学以致用. 【问题引入】

某种圆柱体饮料罐的容积一定，如何确定它的高与底半径，才能使它的用料最省？

【典型例题】

1.有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割，焊接成一个长方形无盖容器（切.焊损耗忽略不计）.有人应用数学知识作了如下设计：如图（1），在钢板的四个角处各切去一个小正方形后剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（2） （1） 请你求出这种切割.焊接而成的长方体的最大容积V1

（2） 由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切焊方法，使材料浪费减少，

而且所得长方体容器的容积V2?V1

2.某公司为一家制冷设备厂设计生产某种型号的长方形薄板，其周长为4m，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，四边形ABCD (AB＞AD)为长方形薄板，沿AC折叠后AB′交DC于点P.当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB′PD的面积最大时制冷效果最好．

(1)设AB＝xm，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围； (2)若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？ (3)若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？

3. 因客流量临时增大，某鞋店拟用一个高为50cm(即EF＝50cm)的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜．根据经验，一般顾客的眼睛到地面的距离x(cm)在区间[140,180]内．支架FG高为h(0cm

(1)当h＝40cm时，试求y关于x的函数解析式和y的最大值；

(2)当顾客的鞋A在镜中的像A1满足不等关系GC＜GA1≤GD(不计鞋长)时，称顾客可在镜中看到自己的鞋，若一般顾客都能在镜中看到自己的鞋，试求h的取值范围．

江苏省泰兴中学高二数学课后作业（35）

班级: 姓名: 学号：

1.周长为20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为 cm 2.某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km, CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等

P距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为

DC3ykm．

（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=?(rad)，将y表示成?的函数关系式； ②设OP?x(km) ，将y表示成x的函数关系式．

AOB（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．

3.一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD(如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上)，设∠BOC＝θ，木梁的体积为V(单位：m3)，表面积为S(单位：m2)．

(1)求V关于θ的函数表达式；