内容发布更新时间 : 2025/5/18 14:20:20星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
数形结合
1.如图1，大长方形的面积从整体看为S=m（a+b+c），
同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成：S＝S1+S2+S3＝ma+mb+mc； 于是有m（a+b+c）＝ma+mb+mc。。
2.如图2，大长方形的面积从整体可以表示成（a+b）（m+n），
同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成S＝S1+S2+S3+S4＝ma+mb+na+nb； 于是有（a+b）（m+n）＝ma+mb+na+nb.
。
3.如图3，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2； 若把小长方形S4旋转到小长方形S3的位置，
则此时的阴影部分的面积又可以看成S1+S2+ S3＝(a+b)(a－b)。
于是有
(a+b)(a－b)＝a2－b2。
4.如图4：将边长为b的小正方形放到边长为a的正方形的一角， 空白部分的面积从整体计算为a2－b2；
而如果从局部考虑，其面积可以看作为两个梯形S1+S2之和，
其面积为于是有
?a?b??a?b???a?b??a?b??(a?b)(a?b)。
222
(a+b)(a－b)＝a－b2。
5.如图5，大正方形的面积从整体可以表示为(a+b)2， 从局部可以表示为也可以表示为S＝S1+ S2+ S3+S4， 同时S＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2， 于是有(a+b)2＝a2+2ab+b2。
6.如图6，从整体看，这个图形的面积为（a+b）（a+2b），
从局部我们可以看出，它分为6部分，这6部分的面积之和为a2+3ab+2b2， 所以（a+b）（a+2b）= a2+3ab+2b2。
数形结合例题
例1 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图1），把余下的部分拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ） A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a-b）2=a2-2ab+b2 C．a2-b2=（a+b）（a-b） D．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2
析解：图1的阴影部分面积等于边长为a的正方形面积与边长为b的正方形的面积差，表示为a2-b2．图2中阴影部分是长方形，其中长为a+b，宽为a-b，其面积为（a+b）（a-b）．根据两个图形中阴影部分的面积相等，有a2-b2=（a+b）（a-b）．故选C．
例2 如图3是四张全等的长方形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a、b的恒等式________．
析解：空白部分的面积可看成是一个正方形，它的边长为a-b，所以面积为（a-b）2；空白部分面积又可看成大正方形面积与四个长方形面积的差，大正方形的面积为（a+b）2，
每个长方形的面积为ab，所以空白部分面积为（a+b）2-4ab．
因此有恒等式（a+b）2-4ab=（a-b）2成立．故填（a+b）2-4ab=（a-b）2．
例3 图4是由一个边长为a的正方形与两个长、宽分别为a、b的小长方形拼接而成的长方形ABCD，则整个图形可表达出一些等式，请你写出其中任意三个等式______、______、_______．
析解：读懂题意，观察图中数据关系是关键，其次利用面积写出代数式，．根据图形的组合特点，由面积间的相等关系，写出符合要求的等式，如： a2+2ab=a（a+2b）；a（a+b）＋ab=a（a+2b）； a（a+2b）-a（a+b）=ab；a（a+2b）-ab=a（a+b）； a（a+2b）-a2=2ab；a（a+2b）-2ab=a2．
数形结合解题
1.将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，根据两个图形的面积关系可以得到一个关于a、b的恒等式为（ ）
2222 B.a?b?a?2ab?b??a?b?a2?2ab?b2 ??A
C
2?a?b??a-b??a2?b2
D.a?a?b??a?ab
a－b a 甲
b a－b b a
乙
2.图①是一个边长为(m?n)的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（ ）
A．(m?n)?(m?n)?4mn B．(m?n)?(m?n)?2mn C．(m?n)?2mn?m?n D．(m?n)(m?n)?m?n
2222222222