内容发布更新时间 : 2024/5/2 22:24:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

圆锥曲线

1.圆锥曲线的两定义：

第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于当常数等于

F1F2，

F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于

F1F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，

且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如方程(x?6)2?y2?(x?6)2?y2?8表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

x2y2y2x2（1）椭圆：焦点在x轴上时2?2?1（a?b?0），焦点在y轴上时2?2abab表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。

若x,y?R，且3x2＝1（a?b?0）。方程

Ax2?By2?C?2y2?6，则x?y的最大值是____，x2?y2的最小值是___（答：5,2）

x2y2（2）双曲线：焦点在x轴上：2?2aby2x2 =1，焦点在y轴上：2?2ab＝1（a22。方程Ax?By?C表示双曲线?0,b?0）

的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。

如设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e?2的双曲线C过点P(4,?10)，则C的方程为_______（答：

x2?y2?6）

（3）抛物线：开口向右时

y2?2px(p?0)，开口向左时y2??2px(p?0)，开口向上时x2?2py(p?0)，开口向下时

x2??2py(p?0)。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

（1）椭圆：由x如已知方程

2,

y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

3x2y2??1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：(??,?1)?(1,)）

2m?12?m2（2）双曲线：由x,

y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

2（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a最大，a

4.圆锥曲线的几何性质：

?b2?c2，在双曲线中，c最大，c2?a2?b2。

x2y2（1）椭圆（以2?2?1（a?b?0）为例）：①范围：?a?x?a,?b?y?b；②焦点：两个焦点(?c,0)；③对称性：

ab两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），四个顶点(?a,0),(0,?b)，其中长轴长为2a，短轴长为2b；④准线：两条准线a2x??cc，椭圆?0?e?1，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。 a25x2y210如（1）若椭圆，则m的值是__（答：3或）； ??1的离心率e?355m； ⑤离心率：e?（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：22）

x2y2??1（a?0,b?0）为例）（2）双曲线（以：①范围：x??a或x?a,y?R；②焦点：两个焦点(?c,0)；③对称a2b2性：两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），两个顶点(?a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的

2ac长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为x2?y2?k,k?0；④准线：两条准线x??； ⑤离心率：e?，双曲线?e?1，

cab等轴双曲线?e?2，e越小，开口越小，e越大，开口越大；⑥两条渐近线：y??x。

a

1

py2?2px(p?0)为例）：①范围：x?0,y?R；②焦点：一个焦点(,0)，其中p的几何意义是：焦点到准线

2cp的距离；③对称性：一条对称轴y?0，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线x??； ⑤离心率：e?，抛物

a2线?e?1。

（3）抛物线（以

如设a?0,a?R，则抛物线y?4ax2的焦点坐标为________（答：(0,1； )）

16a22x0y0x2y25、点P(x0,y0)和椭圆2?2?1（a?b?0）的关系：（1）点P(x0,y0)在椭圆外?2?2?1；（2）点P(x0,y0)在椭

abab2222x0y0x0y0圆上?2?2＝1；（3）点P(x0,y0)在椭圆内?2?2?1

abab

6．直线与圆锥曲线的位置关系：

?直线与椭圆相交； ??0?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有??0，当直线与双曲线的

渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故??0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；??0?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有??0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故??0也仅是

（1）相交：??0直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

?直线与椭圆相切；??0?直线与双曲线相切；??0?直线与抛物线相切；

（3）相离：??0?直线与椭圆相离；??0?直线与双曲线相离；??0?直线与抛物线相离。

（2）相切：??0

提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与

x2y2双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线2?2＝1外一点

abP(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线

和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。

7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题： S时，Smax的最大值为bc；对于双曲线S?b2tan?2?c|y0|，当|y0|?b即P为短轴端点

?b2tan?2。 如 （1）短轴长为

5，

y2?1上一点，F1,F2为双曲线的两个焦点，且PF练习：点P是双曲线上x?1PF2122=24，求?PF1F2的周长。

8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A1，B1，若P为A1B1的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。

9、弦长公式：若直线

y?kx?b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB＝1?k2x1?x2＝，若

y1,y2。特别

分别为A、B的纵坐标，则

AB＝

1?1y1?y22k，若弦AB所在直线方程设为x?ky?b，则AB1?k2y1?y2地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

10、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

b2x0x2y2在椭圆2?2?1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=－2abay0弦所在直线的方程： 垂直平分线的方程：

；

b2x0x2y2在双曲线2?2?1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=2abay0

；在抛物线

y2?2px(p?0)中，以P(x0,y0)为中点

2

的弦所在直线的斜率k=

py0。

提醒：因为??0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验??0！

11．了解下列结论

x2y2xy的渐近线方程为??0； ??1aba2b2bx2y2x2y2（2）以y??x为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为?2?1?2??(?为参数，?≠0）。 22aabab（1）双曲线

（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mx2?ny2?1；

，抛物线的通径为2p，

2b2（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为

a焦准距为p；

（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；

2b2，焦准距（焦点到相应准线的距离）为

cp2,y1y2??p2 （6）若抛物线y?2px(p?0)的焦点弦为AB，A(x1,y1),B(x2,y2)，则①|AB|?x1?x2?p；②x1x2?42（7）若OA、OB是过抛物线y?2px(p?0)顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点(2p,0)

12.圆锥曲线中线段的最值问题：

例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4

2)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________ (2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。 分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则距离和最小。

（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和PH?PF，因而易发现，当A、AQHPFBP、F三点共线时，最小。 解：（1）（2，12）（2）（,1）

4x2?y2?1，双曲线C的左、右焦点分别为C的左、右顶点，而C的左、右顶点分别是C的左、右焦点。 1、已知椭圆C的方程为41

2

1

21 (1) 求双曲线C2的方程； (2) 若直线l：y?kx?2与椭圆C及双曲线C恒有两个不同的交点，且l与C的两个交点A和B满足OA?OB?6(其中O为

1

2

2

原点)，求k的取值范围。

解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为

22222x2y2，则a?4?1?3,再由a?b?c得b?1. ??1a2b2x2x22?y?1.（II）将y?kx?2代入?y2?1得(1?4k2)x2?82kx?4?0. 故C的方程为342

由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得

1?1?(82)2k2?16(1?4k2)?16(4k2?1)?0,即 k2?. ①

4x2将y?kx?2代入?y2?1得(1?3k2)x2?62kx?9?0.由直线

3

l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得

3