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第九章

9.1 描述力学性能的基本参数

例9－1 试证明小形变时体积不变的各向同性材料的泊松比ν＝1/2。

解法之一：形变前的体积为

形变后的体积为＝

由于形变很小，＝

因为体积不变，∴

等高次项可以忽略，∴

又 ∵∴

泊松比 解法之二：

舍去二次项（指

）

例9－2 25℃时聚苯乙烯的杨氏模量为4.9×105磅/英寸2，泊松比为0.35，问其切变模量和体积模量是多少？（以Pa表示） 解：（1）∵ E＝4.9×105磅/英寸2，υ＝0.35 ∴ 1磅/英寸2＝0.6887×104Pa G＝1.25×109Pa （2） 磅/英寸2， 磅/英寸2 （Pa） 例9-3 各向同性高聚物的本体模量B和切变模量G与其拉伸模量E之间有何关系？若泊松比为0.25、0.40与0.45，试列一简表或绘一简图，说明它们之间的关系。 解：对各向同性材料，E、G、B、四个变量中，只有两个是独立变量，它们之间的关系可用下式描述： 四者之间关系的图表说明如下： 表9-2 E、G、B和的关系 0.25 0.40 0.45 E E E E G 0.40E 0.36E 0.34E B 0.67 E 1.67 E 3.33 E

图9-7 E、G、B和之间的关系图

图中曲线1：＝0.25；曲线2：＝0.40；曲线3：＝0.45 例9－4 证明 E=2G(1+ν)

解：下图a是应力较大的结果，下图b表明应力很小时立方体没有发生畸变。考虑在对角线AC和BD方向上的应变，

取一级近似。

AC=BD=

=＝

=＝

×（1＋×（1－

/2）；应变＝/2

/2 /2）。

/2）；应变＝－

在两个45?方向上，剪切应变分别等价于张力（/2）和压缩应变（－

图b说明这些方向的剪切应力等价于张力和压缩应力，都等于 2×

/

=

，所以应力是

。

而这些作用覆盖的面积为对角线平面的面积因而利用线性条件，

==+或G=

例9－5 100磅的负荷施加于一试样，这个试样的有效尺寸是：长4寸，宽1寸，厚0.1寸，如果材料的杨氏模量是3.5×1010达因/厘米2，问加负荷时试样伸长了多少厘米？

解：

E＝3.5×1010dyn/cm2

∴

例9－6 同样材料、长度相等的两根试样，一根截面为正方形，边长为D，另一根截面为圆形，直径为D，如果都被两端支起，中间加荷W，问哪根弯曲得厉害些，其挠度比是多少？

解：矩形的 ∴

式中：l0为长，b为宽，d为厚。

圆形的 ∴

式中：l0为长，r为半径。

所以圆形试样弯曲得厉害些。

例9－7 每边长2cm得立方体高分子材料，已知其剪切模量随时间的变化为：

力学物理量 （cm2/dyn）

要使该材料分别在10－4秒和104秒后产生0.4cm的剪切形变，各需多少外力？

解：