内容发布更新时间 : 2024/12/27 4:58:41星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

15.在自然推理系统F中，构造下面推理的证明： （1）前提：?xF(x)??y((F(y)?G(y))?R(y)),?xF(x) 结论：?xR(x)

（2）前提：?x(F(x)?(G(a)?R(x))),?xF(x)

结论：?x(F(x)?R(x)) （3）前提：?x(F(x)?G(x)),??xG(x)

结论：?xF(x)

（4）前提：?x(F(x)?G(x)),?x(?G(x)??R(x)),?xR(x)

结论：?xF(x)

（1）证明：1 ?xF(x) 前提引入

2 ?xF(x)??y((F(y)?G(y))?R(y)) 前提引入 3 ?y((F(y)?G(y))?R(y) 1 2假言推理 4 F(c) 1 EI

5 (F(c)?G(c))?R(c) 3 UI 6 F(c)?G(c) 4 附加 7 R(c) 5 6假言推理 8 ?xR(x) 7EG （2）证明：1 ?xF(x) 前提引入

?x(?H(x)),?x?F(x) 2 ?x(F(a)?G(a))?),G(a)I(y)H(a)????x(F(x)?(G(a)?R(x)))

?x(G(a)?H(a)?I(a))前提引入

3 F(c) 1 EI 4 F(c)?(G(a)?R(c)) 2 UI

5 G(a)?R(c) 3 4假言推理 6 R(c) 5化简 7 F(c)?R(c) 3 6合取 8 ?x(F(x)?R(x)) 7EG （3）证明：1 ??xF(x) 前提引入 2 ?x?F(x) 1置换 3 ?F(c) 2UI 4 ?x(F(x)?G(x)) 前提引入 5 F(c)?G(c) 4UI

6F(c) 3 5析取三段论 7 ?xF(x) 6EG

(4)证明：1 ?x(F(x)?G(x)) 前提引入 2 F(y)?G(y) 1 UI 3 ?x(?G(x)??R(X)) 前提引入 4 ?G(y)??R(y) 3 UI 5 ?xR(x) 前提引入 6 R(y) 5UI

7 ?G(y) 4 6析取三段论 8F(y) 27析取三段论 9 ?xF(x) UG

16.找一个解释I，在I下，使得?xF(x)??xG(x)为真，而使得?x(F(x)??G(x))为假，从而说明?xF(x)??xG(x)??x(F(x)??G(x))。

解：取个体域为自然数集合N，F(x):x为奇数，G(x):x 为偶数。显然在以上解释下

?xF(x)??xG(x)为真而?x(F(x)?G(x))为假。

17.给定推理如下：

前提：?x(F(x)??G(x)),?x(H(x)?G(x)) 结论：?x(H(x)??F(x))。 有些人给出的证明如下： 证明：

①?xH(x) 附加前提引入 ②H(y)

③?x(H(x)?G(x)) ④H(y)?G(y) ⑤G(y)

⑥?x(F(x)??G(x)) ⑦F(y)??G(y) ⑧?F(y) ⑨?x?F(x)

解：根据16题可知两公式并不等价。

①UI 前提引入 ③UI ②⑤假言推理 前提引入 ⑥UI ⑤⑦拒取式 ⑧UG

并且说，由附加前提证明法可知，推理正确，请指出以上证明的错误。 18.给出上题（17）推理的正确证明（注意，不能使用附加前提证明法）。

证明：1 ?x(F(x)??G(x)) 前提引入 2 ?x(H(x)?G(x)) 前提引入 3 F(y)??G(y) 1 UI 4 H(y)?G(y) 2UI 5 G(y)??F(y) 3置换 6 H(y)??F(y) 4 5假言三段论 7 ?x(H(x)??F(x)) 6 UG

19.在自然推理系统F中，构造下列推理的证明： 前提：?xF(x)??xG(x) 结论：?x(F(x)?G(x))

证明：1?xF(x)??xG(x) 前提引入

2 ?yF(y)??xG(x) 换名规则 3 ?y?x(F(x)?G(x)) 化简 4 ?x(F(x)?G(x)) 3 EI

20.在自然推理系统F中，构造下列推理的证明（可以使用附加前提证明法）： （1）前提：?x(F(x)?G(x))

结论：?xF(x)??xG(x) （2）前提：?x(F(x)?G(x)) 结论：??xF(x)??xG(x)

证明：（1）. 1?xF(x) 附加前提引入 2 F(y) 1 UI

3 ?x(F(x)?G(x)) 前提引入 4 F(y)?G(y) 3UI

5 G(y) 2 3假言推理 6 ?xG(x)

（2）1 ??xF(x) 附加前提引入 2 ?x?F(x) 置换原则 3 ?F(c) 2EI 4 ?x(F(x)?G(x)) 前提引入

5 F(c)?G(c) UI

6 G(c) 3 5析取三段论 7 ?xG(x) EG

21.在自然推理系统中，构造下面推理的证明：

没有白色的乌鸦，北京鸭都是白色的。因此，北京鸭都不是乌鸦。

设F(x):x是乌鸦，G(x)：x是北京鸭，H(x):x是白色的。 前提 ??x(F(x)?H(x)),?x(G(x)?H(x)) 结论 ?x(G(x)??F(x))

证明：1 ??x(F(x)?H(x)) 前提引入 2 ?x?(F(x)?H(x)) 置换原则 3 ?x(?F(x)??H(x)) 置换原则 4 ?x(?H(x)??F(x)) 5 H(y)??F(y) 4UI 6 ?x(G(x)?H(x)) 前提引入 7 G(y)?H(y) 5UI

8 G(y)??F(y) 5 7假言三段论 9 ?x(G(x)??F(x)) 8UG

22.在自然推理系统F中，构造下面推理的证明：

(1)偶数都能被2整除。6是偶数。所以6能被2整除。

(2)凡大学生都是勤奋的。王晓山不勤奋，所以王晓山不是大学生。

（1）设F(x):x为偶数，G(x)：x能被2整除 前提 ?x(F(x)?G(x)),F(6) 结论 G(6)

证明：1 ?x(F(x)?G(x)) 前提引入 2 F(6)?G(6) 1UI 3 F(6) 前提引入