内容发布更新时间 : 2024/11/16 14:25:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

§1.8最小二乘法

一、教学目标：

经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。 二、教学重难点：重点：

了解最小二乘法的思想并利用此思想借助电子表格求出回归方程。 教学内容的难点：

对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解 教学实施过程中的难点：

根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。 三、教学方法：

动手操作，合作交流。 四、教学过程：

(一)、利用最小二乘法推导回归系数公式。

回顾上节课：师：我们现在来求距离和。怎么求？

生：利用点到直线的距离公式

师生共同：只要求出使距离和最小的a、b即可。但是，我们知道点到直线的距离公式计算复杂。怎么办呢？以样本数据点A为例， 可以看出： 6050在RT△ABC中，（教师动画演示）

403020CBA按照一对一的关系，直角边AC越小，斜边AB越小， 1 / 6

-201020406080x100-10-20 当AC无限小时，AB跟AC可近似看作相等。

求AC麻烦，不妨求AB生：AB?yB?yA 师：它表示自变量x取值一定时，纵坐标的偏差。假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1,y1)(x2,y2)……(xn,yn)。当自变量x取xi??bxi?a（i=1，2，……，n），它与实际（i=1，2，……，n）时，可以得到y收集到的yi之间的偏差是

?i?yi?(bxi?a)（i=1，2，……，n） yi?y这样用n个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的。总的偏差

?i)，偏差有正有负，易抵消，所以采用绝对值?yi?y?i，由于带绝对为?(yi?yi?1i?1nn值计算不方便所以换成平方，

?i)?(y1?bx1?a)2?(y2?bx2?a)2?(y3?bx3?a)2?????(yn?bxn?a)2现在的问题就归Q??(yi?yi?1n2结为：当a，b取什么值时Q最小。

n?n???(x?x)(y?y)(x?x)(y?y)?ii?ii??nn??2i?1??2i?1????Q?n?a?(y?bx)???(xi?x)?b???(yi?y)2nn??i?1i?1(xi?x)2(xi?x)2 ????i?1i?1??将上式展开、再合并，就可以得到可以求出Q取最小值时 2 2

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b??(xi?1nni?x)(yi?y)??xi?1ni?1niyi?nxy2?(xi?x)2i?1?xi2?nx1n（其中x??xi，

ni?1a?y?bx

1ny??yi）推导过程用到偏差的平方，由于平方又叫二乘方，所以这种使“偏

ni?1差的和”最小的方法叫“最小二乘法”。

设计意图：培养学生的动手操作能力，最小二乘法的思想是本节课的教学难点，先让学生动手操作画回归直线，教师动画演示，进一步演绎推理来分解难点、突破难点

（二）、直线回归方程的应用

（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系

（2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即因变量Y）进行估计，即可得到个体Y值的容许区间。

（3）利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化，通过控制x的范围来实现统计控制的目标。如已经得到了空气中NO2的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中NO2的浓度。 应用直线回归的注意事项：

（1）做回归分析要有实际意义；（2）回归分析前,最好先作出散点图；（3）回归直线不要外延。 （四）、实例分析：

某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出（Xi）与公司所获得利润（Yi）的统计资料如下表：

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