内容发布更新时间 : 2025/1/5 22:47:20星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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高中数学三次函数的所有题型及解答总计
由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数f(x)?ax?bx?cx?d(a?0)
32其导函数为二次函数:f(x)?3ax?2bx?c(a?0)，
判别式为：△=4b?12ac?4(b?3ac)，设f(x)?0的两根为x1、x2，结合函数草图易得： (1) 若b?3ac?0，则f(x)?0恰有一个实根；
(2) 若b?3ac?0,且f(x1)?f(x2)?0，则f(x)?0恰有一个实根； (3) 若b?3ac?0,且f(x1)?f(x2)?0，则f(x)?0有两个不相等的实根； (4) 若b?3ac?0,且f(x1)?f(x2)?0，则f(x)?0有三个不相等的实根.
说明:(1)(2)f(x)?0含有一个实根的充要条件是曲线y?f(x)与x轴只相交一次，即f(x)在R上为单调函数（或两极值同号），所以b?3ac?0（或b?3ac?0，且f(x1)?f(x2)?0）;
(3)f(x)?0有两个相异实根的充要条件是曲线y?f(x)与x轴有两个公共点且其中之一为切点，所以
22222222//2b2?3ac?0，且f(x1)?f(x2)?0;
(4)f(x)?0有三个不相等的实根的充要条件是曲线y?f(x)与x轴有三个公共点，即f(x)有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以b?3ac?0且f(x1)?f(x2)?0. 【例题
21】：设函数f(x)=x3+x2-3x+1，求函数f(x)的单调区间。
13(x)=x2+2x-3 解析：f(x)的定义域为R，f′f′(x)=x2+2x-3>0?x∈(-∞,-3)或（1，+∞）,此时为f(x)的单调递增区间； f′(x)=x2+2x-3<0?x∈(-3,1)，此时为f(x)的单调递减区间。
【变式
321】：设函数f(x)=x+x-3x+m，求函数f(x)的单调区间。
13(x)=x2+2x-3 解析：f(x)的定义域为R，f′f′(x)=x2+2x-3>0?x∈(-∞,-3)或（1，+∞）,此时为f(x)的单调递增区间；
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f′(x)=x2+2x-3<0?x∈(-3,1)，此时为f(x)的单调递减区间。
【老吴帮你解后反思】：变式1与例题的区别在于把三次函数的常数项换成参数m，但是不影响
函数的单调性。
【变式
322】：设函数f(x)=x+x+mx+1，求函数f(x)的单调区间。
13解析：依题意可得f?(x)?x2?2x?m
2当??4?4m?0即m?1时,x?2x?m?0恒成立,故f?(x)?0,所以函数f(x)在R上单调递增;
当??4?4m?0即m?1时,
f?(x)?x2?2x?m?0 有两个相异实根x1 (??,?1?1?x??单调递增区间；f?(x)?x2?2x?m?0?x?(?1?1?m,?1?1?m)，此时为f(x)的单调递减区间。 综上可知，当m?1时,函数f(x)在R上单调递增; 当m?1时,x?(??,?1?1?m)或x?(?1?1?m,??)单调递增， x?(?1?1?m,?1?1?m)单调递减。 【老吴帮你解后反思】：函数求导后为常数项未知的二次函数，不能确定二次函数与图像的交 点个数，即二次方程的跟，所以要讨论Δ的正负。 【变式 323】：设函数f(x)=x+mx+x+1在x∈（-∞，+∞）为单调函数，求m的取 13值范围。 2??4m?4?0,?1?m?1所以m???1,1?。 解析：依题意可得f?(x)?x?2mx?1 ， 2【老吴帮你解后反思】：1、单调函数为在定义域范围内为增函数或减函数;2函数求导后为含参 数的二次函数， 二次函数图像开口向上，所以只能满足x∈（-∞，+∞）上f?(x)?0，所以要Δ≤0 。 【变式 文案大全 324】：设函数f(x)=x+(m+1)x+mx+1，求函数f(x)的单调区间。 1312实用文档 解析：依题意可得f?(x)?x2?(m?1)x?m?(x?m)(x?1) ， 令f′(x)=0， x1??m,x2??1， （-m,-1）-1，+?）（1)m>1,x2>x1,即(??,?m)或（为单调递增，为单调递减； （2）m=1,x2=x1,即f′(x)≥0，所以函数f(x)在R上单调递增; （-1,-m）（-?,?1)或（-m,??)为单调递增， （3）m<1,x2 【老吴帮你解后反思】：由于m的不确定性，不能确定两根的大小，所以要进行分类讨论，很 多同学不知道分类讨论的分界点是什么，遇到这种能够直接可以因式分解的，讨论的分界点即为两根相等时求出的参数值，所以此题分类讨论的分界点为m=1,m>1,m<1,【变式2】因为不能因式分解，不能确定方程有根无根，所以要讨论Δ的正负。 【变式 325】：设函数f(x)=mx+(m+1)x+x+c，求函数f(x)的单调区间。 1312解析：依题意可得f?(x)?mx2?(m?1)x?1?(mx?1)(x?1) ， （-?,?1)单调递减，在（-1,??)单调递增； （1）m=0,f?(x)?x?1,所以函数f(x)在 （2）m≠0,f?(x)?mx?(m?1)x?1?(mx?1)(x?1)=0, 2x1??1,x2??1m ? m<0,x2>x1, (??,?1)或（-11,??)(?1,?)mm单调递增； 单调递减， ? 0 (??,?11)或（-1,??)(?,?1)m单调递增，m单调递减； ? m=1,x2=x1,所以在R上为单调递增； ? m>1,x2>x1, (??,?1)或（-11,??)(?1,?)mm单调递减； 单调递增，11,??)(?1,?)mm单调递增； 单调递减， 综上可知， m<0, (??,?1)或（-（-?,?1)单调递减，在（-1,??)单调递增； m=0, ,