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土石坝渗流分析中的Chebyshev谱元法

作者：常明媛,宋子亨,李南生,牛永昌

来源：《南水北调与水利科技》2011年第01期

摘要：基于谱元法理论，对土石坝一维二维渗流问题进行了理论分析。首先建立了与土石坝渗流微分方程初边值问题等价的积分形式，选取Chebyshev多项式作为函数插值的基函数，得出渗流问题的离散矩阵方程。然后采用与有限元相似的方法集成整体系数矩阵，根据不同的边界条件，最终计算得到结点水头列阵{h}，通过谱插值点来求出整个土石坝各点的水头值。 关键词：谱元法；渗流；切比雪夫多项式；有限元 中图分类号：TV139.1；TV641 文献标识码：A 文章编号： 1672-1683（2011）01-0169-04

A Chebyshev Spectral Elements Method for Earth Dam Seepage Analysis CHANG Ming-yuan，SONG Zi-heng，LI Nan-sheng，NIU Yong-chang (Department of Hydraulic Engineering,Tongji University,Shanghai 200092,China)

Abstract: Based on the theory of spectral elements method,this paper theoretically analyzed the issue of earth dam seepage under both one-dimensional and two-dimensional conditions. First,an

integral form about the seepage problem was set up;then,the discrete matrix equations were formed by using Chebyshev polynomials as the basis function and the global coefficient matrix was formed in the way used in the finite-element method.Finally,according to different types of boundary

conditions,water head linear array {h} was calculated and the whole dam's water head was educed from this linear array.

Key words: Spectral elements method;seepage;Chebyshev Polynomial;finite element method

渗流问题是影响土石坝工程安全性的最重要的因素之一，因而渗流问题的研究具有重要的理论意义和工程应用价值。谱元方法是用谱近似技术结合有限元的思想，在单元内部仍然是使用加权参量法。谱元法和有限元两种方法最根本的区别是展开函数的选取，有限元是基于固定的低阶插值函数，是靠增加单元数目来提高精度；而谱方法是基于总体插值，是靠增加插值的阶数来提高精度，谱方法还有一个优点是收敛速度快（指数型）。这两个概念的成功结合，使

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谱元法即可达到较高的求解精度，又可适应复杂的几何边界［1］。因而本文基于谱元法对土石坝一维、二维渗流问题进行了理论分析。 1 谱方法求解一维渗流计算问题 1.1 一维稳定渗流

在坝体宽度较大下游坝坡防渗条件较好，而且没有坝顶水流补给情况下，应用Dupuit假设，可以将二维渗流问题简化为一维稳定渗流［2］。一维渗流方程有： 假设隔水底板水平，对上式直接积分得：

式（2）中C1，C2为积分常数，应用边界条件可确定： 故得一维稳定渗流解： 1.2 一维非稳定渗流问题

如果坝顶有水流补给w(x,t)，此时坝体渗流必须考虑时间因素，问题变成为非稳定问题［2］，即：

对于一维非稳定渗流方程（4），以下采用高精度谱元法对其进行近似数值计算。对未知水头函数h(x,t)用谱多项式对其进行数值逼近，也就是逼近展开的基函数采用完备的正交多项式——谱多项式。根据一维非稳定渗流方程的类型，此处应用Chebyshev多项式对水头函数h(x,t)进行谱逼近，即假定未知水头函数h(x,t)渐进解取如下展开形式： hN(

（5）

式中：N-渐进展开项数，其整数值大小由计算精度和效率综合决定，Tm(x)=cos(marccosx)为m级Chebyshev多项式［3］。

值得注意的是，当N≤3时，谱方法计算可以视为一种近似解析计算方法。为了给出谱方法计算的离散型矩阵方程，以下采用加权计算思想，对一维非稳定渗流问题基本方程（4）等式两边乘以一个权函数φ(x)，在空间变量x的变化域［-1,1］之间进行积分（如果x得变化域不为［-1,1］，不难通过变量转化为此正则域），故有：

上式中的权函数φ(x)可以选取不同完备函数集，对应于其中不同的变分方法。使用配点法建立近似计算的基本方程。取权函数φ(x)=δ(x-xi)，xi 是区域［-1,1］中Chebyshev多项式极值点，其值为：

对应于配点法的离散方程为：

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i=1,2,…,N-

上面的配置点i不取0，N是由于i=0,N时，为［-1,1］的边界，其值为已知的边界值（第一类边界条件或第二类边界条件或复合边界）。不失为一般性，假设左边界为第一类边界条件，右边界为第二类边界条件，那么离散形式的边界条件为：

[JP+2]很显然，方程（8）是一个关于时间变量t的一阶离散形式常微分方程。对时间变量t的数值微分计算有两种方法可以选择：一种就是传统的差分法，第二种是类似于空间离散计算的谱元法。第二种方法的优点是数值精度高，不需要考虑步长因素。本文中依然采用传统的时程微分方程，时间微分方程的谱方法拟在今后的研究工作中进行研究。 应用四阶Runge-Kutta 时程分析得出：

h＞0是时间步长，An是tn时刻矩阵方程（8）的解。 1.3 一维非稳态渗流问题谱方法算例 对基本方程进行无量纲化处理，定义： μ=h/L，z=x/L，

，w（z，τ）=0

式中：L-边界间长度。方程(4)转换为如下无量纲形式：

-

提出存在精确解析解的下边初值条件：

μ（-1，τ）=μ（1，τ）=10τ+100，μ（z，0）=-100cos（πz）

表1给出谱元法近似逼近解，当展开项N取不同值时，在各个时刻τ与精确解的数值比较，其中两者误差在0.5%之内，表明这种方法可行。 2 谱元法求解二维复杂区域渗流问题

一般土石坝的渗流计算，Dupuit假定不适用，不可以将其简化成最简单的一维问题进行计算。而且大部分问题的断面几何构成和边初值条件可以很复杂，一般条件下，土石坝渗流采用谱单元的概念，将土石坝断面应用有限元方法剖分成若干单元，这些单元可以是曲边四边形单元，谱方法中必须把曲边形单元可以映射成规则的边长为2的正方形单元。在有限元中，曲边单元映射成正方形单元通过众所周知的等参变换来实现。谱元法也采用类似的方法进行这种变换，但关键不同之处是，有限元变换关系中使用指数多项式，谱元法则采用切比雪夫（Chebyshev）谱多项式。另外必须指出的是，有限元中的等参变换只通过可数n个节点进行