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2018 年数学全国
已知函数 f ( x)
1 卷 1 x
x a ln x ．
（ 1）讨论 f (x) 的单调性；
f x1 f x2 （ 2）若 f (x) 存在两个极值点 x1 , x2 ，
a 证明：
x1 x2
2
2
．
)
1 a x ax 1 解 :（1） f ( x) 的定义域为 ) ， ( x
) (0, f 1 .
22
x x x （ i ）若 a ，当且仅当 a 2， 0 ，所以 f (x) 在 ( x) 0 2 ，则 f x 1 时 f ( x) (0, 单调递减 .
a
2
2
4
2 a 2
a （ ii ）若 2 ，令 f
0 得， x a ( x)
a
4 a
) U (
2 a
2a
或 x
4
.
a
2
a 4
2
(0, 当 x
a
2 a
2
) 时， 0 , f ( x) ； 4
4 a
当 x (
(0,
a
,
2
4) 时 ， f (x ) 2
2 所 以 f
. ( x) 在 4 , a
a )单调递
2
4a 2
2
),(
aa 2
4 ,
) 单调递减，在 (
a
a 2
2
2
增 .
（ 2）由（ 1）知， f (x) 存在两个极值点当
且仅当
由于 f ( x) 的两个极x1 , x2 满足 2x 值点 x2 1 .由于
a 2.
ax 1 0，所以 x1x2 1 ，不妨设 x1 x2 ，则
f ln ( x1 ) f ( x2 ) 1 ln x1 x2 x1 x2 x1x2 1 a x1 x2 f ( x ln x1 ln x2
2 a x1 x2 2ln x2 ，
2 a 1 x2 x2
所以1
)f ( x2 )
a 2等价于
x2 2ln x2 0 .
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1
x2
x1 x2
设函数 g ( x)
1 ) 单调递减，又 g x 2ln x ，由（ 1）知， g ( x) 在 (0, (1) x
0 ，从
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0 . 而当 x (1, ) 时， g( x)
1
所以
x2
f
x2 2ln x2 0 ，即 f ( x1 ) (x2 ) a 2 .
x
x1 x2
2017 年数学全国 1 卷
2x已知函数 （f x) ae+(a﹣2) e﹣ x.
1）讨论 f (x) 的单调
性； （
a 的取值范
（ 2）若 f ( x) 有两个零点，求 围 .
（1）
f ( x)
的定义域为
a(
, ) ， f (x) 2ae
2 x(a 2)e
)
x
1 (ae 1)(2e
xx1) ，
（ⅰ）若 0 ，则 f
a(x) 0 ，所以 f ( x) 在 (
0
,
单调递减 .
（ⅱ）若 0 ，则由 f (x)
( , ln a) 时 ， f
当 ( x ) ( ,
ln a) x 得 x
ln a .
0； 当 x ( ln a, ) 时 ， f ( x)
(0 ， 所 以 f ( x) 在
f (x)单调递减，在
a
0
ln
)
a, 单调递增 .
f (x)
（2）（ⅰ）若 ，由（ 1）知， （ ⅱ ） 若
a 0
至多有一个零点 .
x
， 由 （ 1 ） 知 ， 当
ln a
ln a 时 ， 取 得 最 小 值 ， 最 小 值 为
1
f ( ln a) 1
a
.
①当 1时，由于 f ( ln a)
②当
aaa ，故 1
1 ln a
0 f ( x)
只有一个零点；
(1,
0
0 ln f ()
，即 a) 时，由于 a
1 1 0 ln a
a
2
，故
f (x) 没有零点；
ln a)③当
(0,1) 时，
4
，即 ln a) 0 . 2e 2 0 ，故 f ( x) 在 (
2
f (
又
f ( 2) ae (a 2)e 2
n
3,
有一个零点 .
ln( 1)
a
0 设正整n0
满足 数
ln( 1) ln a
3
n0 n0 n0
a 2) n 0 f (n0) e ( ae e n 0 2 n 0 0
. ，则
)
n0
有一个零
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