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※精品试卷※

二次根式的化简及运算

一、二次根式基本运算

二次根式的乘除法

1. 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

ab＝a·b（a≥0，b≥0） 2. 二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

a·b＝ab．（a≥0，b≥0） 3. 商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。

aa＝（a≥0，b＞0） bb4. 二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。

aa＝（a≥0，b＞0） bb二次根式的加减法

需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。类似于合并同类项。

化简步骤：

（1）“一分”，即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数（或式）的分子、分母都化成质因数（或因式）的幂的积的形式；

（2）“二移”，即把能开得尽的因数（或因式），用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上；

（3）“三化”，即化去被开方数中的分母。

二、二次根式的乘方

2

1. 将单独根式中的整式（数）部分，根式部分分别乘方，如计算（23）时，先将2乘方，再将3乘方，结

果再相乘；

2. 多项式的乘方注意使用乘方公式，同时也可以将其因式分解。 总结：

1. 乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑被开方数的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式；

2. 对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并。但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母。

例题1 已知a，b，c，d，e五个实数的平均值为k，各数与k的差如下表： a x －b c －27 d e 1312 1 3推 荐 下 载

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（1）除实数a外，与k的差的绝对值最大的实数是 ； （2）求x的值。

解析：（1）直接求b、c、d、e与k的差的绝对值，比较大小即可；（2）根据题意，a－k＝x，b－k＝－c－k＝－33，d－k＝23，e－k＝

3，33，又有a＋b＋c＋d＋e＝5k，可求k的值。 3131答案：解：（1）∵|b－k|＝|－|＝，|c－k|＝|－27|＝33，|d－k|＝12＝23，|e－k|＝

333＝

3， 3∴与k的差的绝对值最大的实数是c；

33，c－k＝－33，d－k＝23，e－k＝， 33五式相加，得a＋b＋c＋d＋e－5k＝x－3，又有a＋b＋c＋d＋e＝5k，所以x－3＝0，即x＝3。

（2）依题意，得a－k＝x，b－k＝－

例题2 设2＝a，

3＝b，用含a，b的式子表示0.54，则下列表示正确的是（ ）

2

2

A. 0.3ab B. 3ab C. 0.1ab D. 0.1ab 解析：先把0.54化为2、3的形式，再把a、b代入计算即可。 答案：解：∵0.54＝

有条件的根式求值

利用已知条件进行二次根式的运算，关键是对所给条件进行适当的变形，条件的变形没有规律可循，要根据题目需要，运用所学知识适当变形。

例题 已知x、y为正数，且x（

0.09?2?3＝0.32?3，2＝a，3＝b，∴0.54＝0.3ab。故选A。

点拨：此题主要考查二次根式的化简，应化简到被开方数开不尽为止。

x＋y）＝3y（x＋5y），求

2x?xy?3yx?xy?y的值。

解析：要求代数式的值，首先将分子分母的字母统一成一种，因此要整理已知条件，设法将其中一种字母用另一种表示，然后代入代数式中，约分即可。

答案：由已知条件得x－2xy－15y＝0。∴（x＋3∵x＋3∴x＝5∴

y）（x－5y）＝0，

y＞0，∴x－5y＝0， y，x＝25y，

＝

2x?xy?3yx?xy?y50y?5y?3y58y＝＝2。

25y?5y?y29y

赋予新定义

解决赋予一个新的运算定义的一类题，关键是理解新定义运算的含义，继而进行综合运算。 例题 若a＋b＝2，则称a与b是关于1的平衡数。

（1）3与 是关于1的平衡数，5－2与 是关于1的平衡数；

（2）若（m＋3）×（1－3）＝－5＋33，判断m＋3与5－3是否是关于1的平衡数，并说明理由。 解析：（1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案；（2）根据所给的等式，解出m的值，

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进而再代入判断即可。

答案：（1）由题意得，3＋（－1）＝2，5－2＋（－3＋2）＝2， ∴3与－1是关于1的平衡数，5－2与－3＋2是关于1的平衡数。 （2）不是。理由如下：∵（m＋3）×（1－3）＝m－3m＋3－3， 又∵（m＋3）×（1－3）＝－5＋33，∴m－3m＋3－3＝－5＋33， ∴m－3m＝－2＋23。

即m（1－3）＝－2（1－3）， ∴m＝－2。

∴（m＋3）＋（5－＝3

∴（m＋3）与（5－3）不是关于1的平衡数。

（答题时间：45分钟）

一、选择题 1. 化简a3）

＝（－2＋3）＋（5－3）

?3的结果是（ ） aB. 3a

C. ??3a

2

A. ?3a D. ?3

2. 下列运算错误的是（ ） A. －(??)2＝π C. 10?2＝10＝0.1

－1

B.（?0.2）＝0.2 D.（32）＝3×（

2

2

2）2＝18

*3. 估算

50?232的值（ ）

B. 在0与2之间 D. 在3与4之间

A. 在0与1之间 C. 在2与3之间

**4. 已知y1＝2x，y2＝A. 2x **5. 若2

2222，y3＝，y4＝…，y2014＝，则y1?y2014等于（ ） y1y2y3y2013

C. 2

D. 2

B. 1

5?k3?22?5?2，则k＝（ ）

(5?3)(3?2)

B. 3＋10＋15 D. 3＋10－15

A. 3－15

二、填空题

C. 3?10－15

22

*6. 若a－b＝2＋3，b－c＝2－3，则代数式a－2ac＋c的值为 。

11＋ ＝ 。 a?ba?bx?2012y2**8. 非零实数x、y满足（x2?2013－x）（y?2013－y）＝2013，则＝ 。

2012x?y*7. 14?410的整数部分为a，小数部分为b，则

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