内容发布更新时间 : 2024/5/12 5:51:01星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1.1.1 集合的含义与表示

?探索解题新思路

基础思维探究

题型一 集合概念的考查

【典例1】分析下列各组对象能否构成集合：

（1）比2008大的数；

（2）一次函数y?kx?b(k?0)的图象上的若干个点； （3）正比例函数y?x与反比例函数y??（4）面积比较小的三角形.―

研析 （1）中“几个数”、（2）中的“若干个点”和（4）中的“面积比较小”都是模糊的概念，因此与之对应的对象都是不确定的，自然它们不能构成集合.而（3）中正比例函数

1的图象的交点； xy?x与反比例函数y??1x的图象没有交点，所以这两个函数的图象的交点能构成集合，这个集合是空集?.

反思领悟 判断一组对象能否构成集合，关键是看其对象是否满足集合中元素的三个特征，特别是看是否满足确定性.构成集合的对象是确定的，是指能让人们说清楚的对象，存在可以，不存在也可以.如（3）中两个图象没有交点，这两个函数的交点也能构成集合，不过是空集?罢了.不能构成集合的对象是不确定的对象，是指让人们说不清楚的对象，存在与不存在都是模糊的，如（1）、（2）、（4）中的对象. 【拓展·变式】

1.给出下列四组对象，能构成集合的是（ ）

A．某班所有高个子的同学 B．著名的艺术家 C．一切很大的数 D．倒数等于它本身的实数

题型二 集合中元素性质的理解

【典例2】求集合{x2?x,2,x}中的元素x的取值范围.

研析 集合中的元素必须满足互异性，因此x的取值必须满足集合中的三个元素互不相等，从而由元素的互

?x2?x?2?异性可知，x必须满足?x?2，解得x??1，x?2且x?0.

?x2?x?x?故x的取值范围是{x?R|x??1,2,0}.

探索发现 在求解有关的集合中元素的问题时，互异是至关重要的，应引起足够的重视.互异性是指集合中没有两个相同的元素，相同的元素只能算作是一个元素.

【拓展·变式】

2.已知集合A?{a?2,(a?1),a?3a?3}且1?A，求实数a的值. 题型三 考查集合的表示方法

【典例3】试选用适当的表示方法表示下列集合： （1）一次函数

22y??x?3与y?2x?6的图象的交点组成的集合； y?x2?2x?4的函数值组成的集合；

（2）二次函数

（3）反比例函数

y?5的自变量的值组成的集合.

x2?4研析 （1）

??y??x?3?(x,y)|????{(?1,4)}，从而由一次函数y??x?3与y?2x?6的图

y?2x?6???象的交点组成的集合为{(?1,4)}.

（2）

{y|y?x2?2x?4}?{y|y?(x?1)2?3}?{y|y?3}，从而由二次函数

y?x2?2x?4的函数值组成的集合为{y|y?3}.

（3）合为{x|{x|y?55，从而由反比例函数的自变量的值组成的集}?{x|x??2}y?x2?4x2?4x??2}.

推广引申 只有确定的对象才能构成集合，可根据对象的特点或个数的多少来表示集合，如对象的个数较少的有限集可采用列举法，而其它的一般采用描述法.在本例中，代表元素份别为点、函数值、自变量.因此在解题过程中不能将点的坐标表示成{?1,4}，也应注意对比（2）和（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围在着本质的区别，分析时时应引起特别的注意.另外，在表示集合的过程中，要特别注意数学语言、符号的规范使用.

【拓展·变式】

3. 下列的研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它.

（1）小于5的自然数

（2）某班所有个子高的同学；

（3）不等式2x?1?7的整数解.

题型四 对集合分类的考查

【典例4】判断下列集合是有限集还是无限集.对于有限集，指出其元素的个数. （1）

A?{x?Z|?4012?1?2x?4031}；

（2）平面内到线段AB的两个端点距离距离相等的点P的集合.

【研析】（1）由?4012?1?2x?4031可得?4013??2x?4030，解得?2015?再由x?Z得

1x?2006.

2A?{?2015,?2014,,2006}，所以集合A是有限集，共有4022个元素.

（2）到线段AB的两个端点的距离相等的点P都在线段AB的垂直平分线上，集合可表示为

{P|PA?PB}，它是无限集.

思维指南 在第（1）小题中，4022是这样算出来的：连续的整数mr,mr?1,个整数.

mn中，共有mn?mr?1【拓展·变式】

4.下面给出四个集合：

①方程(x?3)(x?1)?0的解集；

②以A为圆心，m为半径的圆上所有点的集合； ③不等式3x?2?4的解集； ④M?{平行四边形}

其中无限集的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

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综合思维探究

题型一 学科内综合题

【典例5】已知集合A?{x?R|ax（1）若集合

2?2x?1?0},a为实数.

A是空集，求实数a的取值范围；

（2）若集合A是单元素集，求实数a的值；

（3）若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围. a?0?研析 （1）若集合A是空集，则应有?，解得a?1. 2??2?4a?0?（2）若集合

A是单元素集，则