内容发布更新时间 : 2024/11/15 3:38:28星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
精品文档
第二章 导数与微分
1、利用导数定义求函数极限
如果f(x)存在?lim/口?0f(x?口)?f(x)?f/(x)
口注意：分子中的“口”和分母中的“口”应一致，且符号也相同 例1 设f(x)在x0点可导，求下列极限 （1）limh?0f(x0?2h)?f(x0?2h)
2h2t??（2）设f(x)?limtsin2、利用定义求函数的导数
x?[g(x?)?g(x)]，其中g(x)有二阶导数，求f/(x) tt2//例2 (1) 设?(x)?f(a)(x?a)?f(x)(x?a)，求?(a)
//注意：函数?(x)仅在x?a处存在二阶导数，故求?(a)时不能直接利用求导公式。
//（2）设周期函数f(x)的周期为5，f(x)可导，且limx?0f(2)?f(2?x)?1，求曲线y?f(x)在点
2x(?3,f(?3))处的切线方程。
（3）设F(x)?f(sin?(x))，f(0)?a,?(0)?0,?(0)?b，求F(0) 3、求含有绝对值的函数和分段函数的导数
///?f(x)x?a?分析: 含有绝对值的函数可转化为分段函数y??A x?a，
?g(x)x?a?（1）当x>a y?f(x) 当x x??ax?ax?a///（3）如y?(a)?y?(a)?B 则y(a)存在,且y(a)=B.否则y(a)不存在 （4）写出y的解析式 /1?2xsin?xx?0?例3 （1）已知f(x)??0 x?0 ,求f(x)的导数 ?ln(1?x)x?0??（2）设f(x)在点x?0可导，且F?x??f(x)1?sinx，求F(x)在点x?0可导的充要条件 精品文档 ??精品文档 ?x1?（3）已知f(x)??1?ex??0?1?x?1x?0x?0 ,则f(0)是否存在 //（4）设?(x)?max{f1(x),f2(x)}，其中f1(x)?x?1，f2(x)?(x?1)，求?(x) 24、分段函数在分段点处的导数存在,求待定系数 已知y(x)???f(x)x?a 在x?a处可导,求y(x)中的待定系数 ?g(x)x?ax??ax??a分析：（1）y(x)在x?a处可导,则在x?a处连续,即limf(x)?limg(x)?f(a)﹡ （2）求y?(a)?lim/x??af(x)?f(a)g(x)?f(a)///,y?(a)?lim,而y?(a)?y?(a)﹟ x??ax?ax?a（3）由﹡和﹟,求待定系数 ?exx?0例4 已知y(x)?? 在x?0处可导, 求a,b ?ax?bx?05、求分段函数的导数,并会讨论导数在分段点处的连续性 ?f(x)x?a?//函数y(x)??A x?a,求y(x),并讨论y(x)的连续性 ?g(x)x?a?分析:（1）先求y(x)； （2）然后讨论y(x)在定义域内的连续性 //?ax2?bx?c, x?0例5 设f(x)?? 问如何选取a,b,c才能使f(x)处处具有一阶连续导数，但在x=0 ln(1?x), x?0?处却不存在二阶导数。 6、利用导数求函数 ,)例6 （1）设f(x)在（0，+∞）内有定义，且f?(1)?a(?0)，又对?x,y?(0??，有f(xy)?f(x)?，求f(y)f/(x) 注意：有乘积的，一般令x、y互为倒数 （2）设函数f(x)满足等式f(x?y)?f(x)?f(y)，且f?(0)存在，求f(x) 1?f(x)f(y)注意：有和的，一般令x、y互为相反数；有差的，一般令x、y相等 7 求导 例7 已知 f(x) =(x?1)(x?2)(x?3)?(x?100),求f＇（１）。 8 复合函数的求导 精品文档 精品文档 1x1例8 求导（1）y?e9 求反函数的导数 sin2dy?2x?1?3?f(x)?lnx ；(2) 设y?f?， ，求. ?x?1dx??d2y例9 设x?lny?y?1，求2 dx?2?10 隐函数的求导 例10求导（1）(cosx)?(siny) (2) 设y=y(x)是由方程x y+ ey=1所确定的隐函数，求y\。 11 由参数方程所确定的函数的导数 例11 求导数 yxdy dxt??x?a(t?sint)?x?te（1）? （2）? tyy?a(1?cost)???e?e?212 对数求导法求函数的导数 <1> (1)对幂指函数y?[f(x)](2)两边对x求导得: g(x)两边取对数lny?g(x)?lnf(x) 1/g(x)/?y?g/(x)?lnf(x)??f(x) yf(x)g(x)/?f(x)] f(x)(3)则y?f(x)/g(x)[g/(x)?lnf(x)?例12 求导(1)y?xx ；(2)y?(x2?sinx)cosx <2> 多重函数的连乘除,多重根式内商的函数求导 例13 求导(1) y?313 抽象函数的求导 例14 求导 （1）y?ef(x?lnx) ；（2）设y?f(arcsinx)，f(x)?tanx，求14 求高阶导数 常见函数的高阶导数 （1）(x)（2）(a)?(n)x2/(x?1)(2x?3) ； (2)y?5(3x?5)(x?2)x?55x?22 dy|1 dxx?2???(??1)?(??2)??(??n?1)x??n ?axlnna （3）(eax)(n)?an?eax x(n)精品文档