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第十章 质心运动定理 动量定理 习题解

[习题10-1] 船A、B的重量分别为2.4kN及1.3kN，两船原处于静止间距6m。设船B上有一人，重500N，用力拉动船A，使两船靠拢。若不计水的阻力，求当两船靠拢在一起时，船B移动的距离。

解：以船A、B及人组成的物体系统为质点 系。因为质点系在水平方向不受力。即：

设B船向左移动了S米， 则A船向右移动了6－S米。 由质点系的动量定理得：

[习题10-2] 电动机重P1，放置在光滑的水平面上，另有一匀质杆，长2L，重P2，一端与电动机机轴固结，并与机轴的轴线垂直，另一端则刚连一重P3的物体，设机轴的角速度为?（?为常量），开始时杆处于铅垂位置并且系统静止。试求电动机的水平运动。

解：以电动机、匀质杆和球构成的质点系为研究对象。其受力与运动分析如图所示。匀质杆作平面运动。

因为质点系在水平方向上不受力，所以 由动量定理得：

这就是电动机的水平运动方程。

[习题10-3] 浮动起重机起吊重P起重机重P2?200kN，杆长OA?8m，1?20kN的重物，开始时杆与铅垂位置成60角，忽略水的阻力，杆重不计，当起重杆OA转到与铅垂位置成

0300角时，求起重机的位移。

解：以重物和起重机构成的物体系统为质系。 因为质点系在水平方向不受力，所以Fx?0

xC＝const。即OA运动前后，质点系的质心保持不变。也就是质心守恒。

当OA杆转到与铅垂位置成30角时，质点系质心的横坐标为： 当OA杆转到与铅垂位置成30角时， 质点系质心的横坐标为：

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因为质心守恒，所以

xC1?xC2，即：

故，当起重杆OA转到与铅垂位置成30角时，起重机向左移动了0.2662米。

[习题10-4] 匀质圆盘绕偏心轴O以匀角速度?转动。重P的夹板借右端弹簧推压面顶在圆盘上，当圆盘转动时，夹板作住复运动。设圆盘重W，半径为r，偏心距为e，求任一瞬时作用于基础和别螺栓的动反力。

解：设机座的重量为G，则当偏心轮转动时， 质点系的受力如图所示。当停偏心轮静止时， 水平约束力不存在，此时的反力为静反力：

0FN?W?P?G；当偏心轮转动时，存在

动反力：Fx和Fy。质点系的受力与运动分 析如图所示。

当偏心轮转动时，偏心轮的动量为： 当偏心轮转动时，夹板的动量为： 因为夹板作平动，所以其质心的速度 等于夹板与偏心轮的切点的速度。切 点的运动方程为：

vx?0?e(??sin?t)?e?sin?t，即： vC2?esin?t，故：

当偏心轮转动时，机座的动量为： 质点系的动量为：

式中，FN?W?P?G，故：

d(W?P)e?sin?te?2(W?P)cos?tW?P2Fx?[]???ecos?t，即：

dtgggde?Wcos?te?2Wsin?tWFy??()?????2ecos?t，即

dtdtggg[习题10-5] 大直角锲块A重P，水平边长为a，放置在光滑水平面上；小锲块B重Q，

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水平边长为b（a?b），如图放置在A上，当小锲块B完全下滑至图中虚线位置时，求大锲块的位移。假设初始时系统静止。 解：建立如图所示的坐标系。由于质点系在 水平方向不受力，即Fx?0，所以：

vC|t?0?C1?0，故： xC?const，即质心守恒：

xC2?Pa?3Ps?3Qa?3Qs?Qb，故：

3(P?Q)s?(a?b)Q （A锲块各左移动的位移）

P?Q[习题10-6] 匀质杆AB长2l，其B端搁置于光滑水平面上，并与水平成?0角，当杆倒下时，求杆端A的轨迹方程。

解：由于AB杆在水平方向上不受力，所以其质心的x坐标守恒。 即：xCt?xC0?lcos?0

质心C沿x?lcos?0直线向下运动。 设任意时刻A的坐标为A(x,y)，则： 消去?得：

y(x?lcos?0)2?()2?l，为一椭圆。

20[习题10-7] 图示系统中，mA?4kg，mC?2kg，??30。设当A在斜面上作无初速地

向下滚过40cm时，斜面在光滑的水平面上移过20cm。求B的质量。 解：以A、B、C构成的质点系为研究对象， 其受力如图所示。因为水平方向不受力， 所以aCx?0，即：

vCx|t?0?C1?0，故：

dxC?const，即质心守恒： dt第 3 页