内容发布更新时间 : 2024/6/22 4:25:49星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

利用空间向量求空间角

1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题． 2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．

知识点一 利用空间向量求异面直线所成角

设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝的角)．

[典例] 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2， ∠BAD＝60°.

(1)求证：BD⊥平面PAC；

(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值．

[解] (1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.

因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.又因为AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC. (2)设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2， 所以BO＝1，AO＝CO＝3.

|a·b|

(其中φ为异面直线a，b所成|a||b|

如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，则P(0，－3，2)，A(0，－3，0)，B(1，0,0)，C(0，→―→??―PB·AC6―→―→??＝

3，0)．所以PB＝(1，3，－2)，AC＝(0,23，0)．设PB与AC所成角为θ，则cos θ＝―→―→??|PB

||AC|?22×23?＝

66

.即PB与AC所成角的余弦值为. 44

[方法技巧]

向量法求两异面直线所成角的步骤

(1)选好基底或建立空间直角坐标系； (2)求出两直线的方向向量v1，v2； (3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝

|v1·v2|

求解． |v1||v2|

π

0，?，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当两异面直线的方向向量的[提醒] 两异面直线所成角θ的范围是??2?夹角为锐角或直角时，就是这两条异面直线所成的角；当两异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是两异面直线所成的角． [针对训练]

1．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1

＝2CB，则直线

BC1与直线AB1夹角的余弦值为( ) A.

5

5

B.5 3

25C. 53D. 5

解析：选A 设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)， ―→―→

可得向量AB1＝(－2,2,1)，BC1＝(0,2，－1)，

－2×0＋2×2＋1×?－1?15―→―→

由向量的夹角公式得cos〈AB1，BC1〉＝＝＝.

550＋4＋1·4＋4＋1

2．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成角分别为60°和45°，求异面直线B1C和C1D所成角的余弦值．

解：建立如图所示的空间直角坐标系，可知∠CB1C1＝60°， ∠DC1D1＝45°，

设B1C1＝1，CC1＝3＝DD1.

∴C1D1＝3，则有B1(3，0,0)，C(3，1，3)，C1(3，1,0)，D(0,1，3)． ―→―→

∴B1C＝(0,1，3)，C1D＝(－3，0，3)． ―→―→B1C·C1D36―→―→

∴cos〈B1C，C1D〉＝＝＝.

―→―→4|B1C||C1D|26

知识点二 直线与平面所成角

如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝

|n·e|

. |n||e|

[典例] (2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝22，＝4，O为AC的中点． (1)证明：PO⊥平面ABC；

(2)若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°，求PC与平面PAM[解] (1)证明：因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，所以PO⊥接OB，因为AB＝BC＝

所成角的正弦值． AC，且PO＝23.连PA＝PB＝PC＝AC

21

AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.所以PO2＋OB222

＝PB2，所以PO⊥OB.又因为OB∩AC＝O，所以PO⊥平面ABC. ―→

(2)以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间

直角坐标系O-xyz.

由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，－2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,23)， ―→

AP＝(0,2,23)．

―→

取平面PAC的一个法向量OB＝(2,0,0)． ―→

设M(a,2－a,0)(0＜a≤2)，则AM＝(a,4－a,0)． 设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z)． ―→?n＝0，?AP·?2y＋23z＝0，由?得?

―→ax＋?4－a?y＝0，??n＝0，?AM·

令y＝3a，得z＝－a，x＝3(a－4)，

所以平面PAM的一个法向量为n＝(3(a－4), 3a，－a)， 23?a－4?―→

所以cos〈OB，n〉＝222. 23?a－4?＋3a＋a3―→

由已知可得|cos〈OB，n〉|＝cos 30°＝，

2所以

23|a－4|23?a－4?2＋3a2＋a

2＝

3， 2

4解得a＝或a＝－4(舍去)．

3

?83，43，－4?.

所以n＝－

33??3

―→

又PC＝(0,2，－23)，

8383

＋333―→

所以cos〈PC，n〉＝＝.

6416164

4＋12·＋＋339所以PC与平面PAM所成角的正弦值为[方法技巧]

利用向量法求直线与平面所成角的注意点

(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角后(求出是钝角时取其补角)，取其余角即为直线与平面所成的角．

(2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin2θ＋cos2θ＝1求出其值．不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所成夹角的余弦值即为所求． [针对训练]

1．如图，正三棱柱ABC -A1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C夹角的正弦值为________．

3

. 4