内容发布更新时间 : 2024/5/8 4:09:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

4 简单计数问题

学习目标 1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.进一步深化排列与组合的概念.3.能综合运用排列、组合解决计数问题．

知识点一 两个计数原理 1．分类加法计数原理(加法原理)

完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝__________种方法． 2．分步乘法计数原理(乘法原理)

完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝____________种方法．

3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成. 知识点二 排列 1．排列

从n个________的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的________排成一列，叫作从n个不同的元素中任意取出m个元素的一个排列． 2．排列数 排列数定义及表示 排列数公式 乘积式 阶乘式 nm从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作____________ An＝____________ An＝________________________ An＝________；An＝________，0！＝1 0m排列数的性质 知识点三 组合 1．组合

一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素为一组，叫作从n个不同的元素中取出

m个元素的一个组合．

2．组合数

(1)组合数定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的____________，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示．

(2)组合数公式

组合数公式 备注

特别提醒：1.排列组合综合题的一般解法

一般坚持先组后排的原则，即先选元素后排列，同时注意按元素性质分类或按事件的发生过程分类．

2．解决有限制条件的排列、组合问题的一般策略 (1)特殊元素优先安排的策略． (2)正难则反，等价转化的策略． (3)相邻问题捆绑处理的策略． (4)不相邻问题插空处理的策略． (5)定序问题除法处理的策略．

(6)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略． (7)平均分组问题，除法处理的策略． (8)构造模型的策略．

类型一 两个计数原理的应用 命题角度1 “类中有步”的计数问题

例1 电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有________种不同的结果． 反思与感悟 用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示：

乘积形式 阶乘形式 AnC＝m＝______________ AmmnmCn＝mn！ m！n－m！n，m∈N＋，且m≤n，规定C0n＝________

具体意义如下：

从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数如图所示． 所以，完成这件事的方法数为m1m2m3＋m4m5， “类”与“步”可进一步地理解为：

“类”用“＋”号连接，“步”用“×”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可．

跟踪训练1 现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )

A．24种 B．30种 C．36种 D．48种 命题角度2 “步中有类”的计数问题

例2 有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测一人，则不同的安排方式共有________种．(用数字作答)

反思与感悟 用流程图描述计数问题，步中有类的情形如图所示：

从计数的角度看，由A到D算作完成一件事，可简单地记为A→D.

完成A→D这件事，需要经历三步，即A→B，B→C，C→D.其中B→C这步又分为三类，这就是步中有类．

其中mi(i＝1,2,3,4,5)表示相应步的方法数． 完成A→D这件事的方法数为m1(m2＋m3＋m4)m5. 以上给出了处理步中有类问题的一般方法．

跟踪训练2 如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有( )

A．11 B．12 C．20 D．21 类型二 排列与组合的综合应用 命题角度1 不同元素的排列、组合问题

例3 有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？