实变函数积分实际部分复习题(附答案版) 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/23 22:55:41星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

2011级实变函数积分理论复习题

一、判断题(判断正误,正确的请简要说明理由,错误的请举出反例)

1、设?fn(x)?是[0,1]上的一列非负可测函数,则f(x)?可积函数。(×)

2、设?fn(x)?是[0,1]上的一列非负可测函数,则f(x)?可测函数。(√)

3、设?fn(x)?是[0,1]上的一列非负可测函数,则

?fn?1?n(x)是[0,1]上的Lebesgue

?fn?1?n(x)是[0,1]上的Lebesgue

?[0,1]n??limfn(x)dx?lim?n??[0,1]fn(x)dx。

(×)

4、设?fn(x)?是[0,1]上的一列非负可测函数,则存在?fn(x)?的一个子列fnk(x),使得,

???[0,1]k??limfnk(x)dx?lim?k??[0,1]fnk(x)dx。

(×,比如?fn(x)?为单调递增时,由Levi定理,这样的子列一定不存在。) 5、设?fn(x)?是[0,1]上的一列非负可测函数,则存在?fn(x)?的一个子列fnk(x),使得,

???[0,1]k??limfnk(x)dx?lim?k??[0,1]fnk(x)dx。

(×,比如课本上法都引理取严格不等号的例子。) 6、设?fn(x)?是[0,1]上的一列非负可测函数,则

??[0,1]n??limfn(x)dx?lim?n??[0,1]fn(x)dx。

(√)

7、设?fn(x)?是[0,1]上的一列非负可测函数,则

[0,1]n??limfn(x)dx?lim?n??[0,1]fn(x)dx。

(×)

8、设f(x)是[0,1]上的黎曼可积函数,则f(x)必为[0,1]上的可测函数。 (√,Lebesgue积分与正常黎曼积分的关系)

9、设f(x)是[0,??)的上黎曼反常积分存在,则f(x)必为[0,??)上的可测函数。 (√,注意到黎曼反常积分的定义的前提条件,对任意自然数n>0,f(x)在[0,n]上

?黎曼可积,从而f(x)是[0,n]上的可测函数,进而f(x)是[0,??)?n?1[0,n]上的可测函数)

10、设?fn(x)?是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数,G([0,1],fn)表示fn(x)在

[0,1]上的下方图形,f(x)=limfn(x),则G([0,1],fn)单调递增,且

nnlimG([0,1],fn)=UG([0,1],fn=1¥nlimmG([0,1],fn)。 )=G([0,1],f),mG([0,1],f)=n(√,用集合关系的定义,单调递增可测集列的极限性可以证明。)

二、叙述题(请完整地叙述以下定理或命题) (自己在书上找答案,务必要跟书上一模一样)

1、单调收敛定理(即Levi定理)

2、Fatou引理(法都引理)

3、非负可测函数的Fubini定理和Lebesgue可积函数的Fubini定理 4、Lebesgue控制收敛定理(两个)

5、Lebesgue基本定理(即非负可测函数项级数的逐项积分定理) 6、积分的绝对连续性

三、计算题(请完整写出计算过程和结果)

??sinx,x?D01、设D0为[0,?]中的零测集,f(x)??x3 ,求

??e,x?D0?[0,?]f(x)dx。

解:由题设f(x)?sinx,a.e.于[0,?],而sinx在[0,?]上连续,

于是由积分的惟一性和L积分与R积分的关系得

??

[0,?]f(x)dx??[0,?]sinxdx?(R)?sinxdx?(?cosx)0?0?2。

?x??xe,2、设Q为[0,+?)中有理数全体,f(x)??3xsinx,??e2x?[0,??)\\Qx?Q2 ,求

?[0.??)f(x)dx。

?x2解:因为Q为可数集,所以mQ?0,从而f(x)?xe?x,a.e.于[0,??),而xe在

[0,??)上非负连续,且(R)???0f(x)dx?(R)?xe?x2??0212xe?xdx??e?x2??0?1, 21。 2所以由积分的惟一性和L积分与R积分的关系得

?

[0.??)f(x)dx??[0.??)dx?(R)???0xe?x21?x2dx??e2??0???xe?x,x?[0,??)\\Pf(xd)x。3、设P为[0,1]上的Cantor三分集,f(x)?? ,求?

x.0[)????sin(e),x?P解:因为mP?0,所以f(x)?xe?x,a.e.于[0,??),而xe且

212xe?xdx??e?x222?x2在[0,??)上非负连续,

(R)???0f(x)dx?(R)?2??0??0?1, 2??0所以由积分的惟一性和L积分与R积分的关系得

?

[0.??)f(x)dx??[0.??)xe?xdx?(R)???0212xe?xdx??e?x2?1。 24、计算limxn?2x(1?)edx。

n???0nxn?2x解: 令fn(x)?(1?)e?[0,n](x),易见fn(x)在[0,??)非负可测,且fn(x)单调上

nn升limfn(x)?en???x,故由单调收敛定理

lim?n????0??x(1?)ne?2xdx??e?xdx?1。

0n

5、积分计算

(1)设¤为全体有理数所成的集合,在E?[0,1]?[0,1]上函数f定义如下:

f(x,y)??x?y?,?1, 求 xyxsiny?e,x?y?.??Ef(z)dz。

(2)设¤为全体有理数所成的集合,在E?[0,1]?[0,1]上函数f定义如下:

f(x,y)??解:(1)记

(x,y)??,?xsiny, 求 x?e?ln(1?|xy|),(x,y)??.?Ef(z)dz。

={r1,r2,},令Ak={(x,y)?Ex:y=rk,}则m(Ak)=0,故

¥骣m?UAk÷÷?÷=0,从而f(x,y)=1几乎处处于E。显然,1是E上的连续函数,从而在Ek=1桫上有界且Riemann可积,故由Riemann积分与Lebesgue积分的关系定理,1在E上Lebesgue 可积且

1dz=(R)蝌EE1dxdy=1.

由于f(x,y)=1几乎处处于E,故由积分的基本性质

?Ef(z)dz??1dz?1.

E