内容发布更新时间 : 2024/11/20 15:22:45星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

B，D的距离（计算结果精确到0.01km， 2?1.414，6?2.449） 解:在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30, 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°， ABAC?,故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， 在△ABC中，sin?BCAsin?ABC即ACsin60?32?6?,AB=sin15? 2032?6?0.33km。因此，BD= 20故B，D的距离约为0.33km。 点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。 三、思维总结 1．解斜三角形的常规思维方法是： （1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b； （2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角； （3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况； （4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C。 2．三角学中的射影定理：在△ABC 中，b3．两内角与其正弦值：在△ABC 中，?a?cosC?c?cosA，? A?B?sinA?sinB，? 4．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。 三、课后跟踪训练 1.（2010上海文数18.）若△ABC的三个内角满足 6

sinA:sinB:sinC?5:11:13，则△ABC （ ） （A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形. （C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 解析：由sinA:sinB:sinC?5:11:13及正弦定理得a:b:c=5:11:13 52?112?132 由余弦定理得cosc??0，所以角C为钝角 2?5?112.（2010天津理数7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a2?b2?3bc，sinC?23sinB，则A=( ) （A）300 （B）600 （C）1200 （D）1500 【答案】A 【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。 由正弦定理得 c23b??c?23b， 2R2Rb2+c2-a2?3bc?c2?3bc?23bc30 ?所以cosA==，所以A=30?2bc2bc2bc2【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。 3.（2010湖北理数）3.在?ABC中，a=15,b=10,A=60°，则cosB= A －2222 B C －6 D 6 3333【答案】D ab1510??【解析】根据正弦定理可得解得sinB?sinAsinBsin60sinB2故B为锐角，所以cosB?1?sinB?3，又因为b?a，则B?A，36，故D正确. 34.（2010广东理数）11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= . 解：由A+C=2B及A+ B+ C=180°知，B =60°．由正弦定理知，131?，即sinA?．由2sinAsin60a?b知，A?B?60，则A?30，

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C?180?A?B?180?30?60?90，sinC?sin90?1 5（2009湖南卷文）在锐角?ABC中，BC?1,B?2A,则围为 . 解析 设?A??,?B?2?.由正弦定理得 AC的值等于 ， AC的取值范cosAACBCACAC?,??1??2. sin2?sin?2cos?cos?由锐角?ABC得0?2??90?0???45， 又0?180?3??90?30???60， 23， ?cos??22故30???45??AC?2cos??(2,3). 6.（2009全国卷Ⅰ理）在?ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、，已知a且sinc2?c2?2b，AcosC?3cosAsinC, 求b 22a?c?2b左侧是二分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) sinAcosC?3cosAsinC,过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法：在?ABC中则sinAcosC?3cosAsinC,由正弦定理及余弦定理a2?b2?c2b2?c2?a2?3c,有:a2ab2bc （角化边） 化简并整理得：2(a?c)?b.又由已知a2222?c2?2b?4b?b2. 解得b?4或b?0(舍）. 7．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，求tanA?tanC?3tanAtanC的值。 2222解析：因为A、B、C成等差数列，又A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝120°， 8

ACA?CA?Ctan?tan?3.由两角和的正切公式，得从而＝60°，故tan22?3。 22AC1?tan2tan2所以tanA?tanC?3?3tanAtanC, 2222tanACAC?tan?3tantan?3。 2222点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解，同时结合三角变换公式的逆用。 8.（2009四川卷文）在?ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinA?510 ,sinB?510（I）求A?B的值；（II）若a?b?2?1，求a、b、c的值。 解（I）∵A、B为锐角，sinA?510 ,sinB?510∴ cosA?1?sin2A?25310 ,cosB?1?sin2B?510cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB?∵ 0?253105102????. 5105102A?B??,∴ A?B??4 （II）由（I）知C?3?，∴ sinC?2 42由abc得 ??sinAsinBsinC5a?10b?2c，即a?2b,c?5b 又∵ a?b?2?1 ∴ 2b?b?2?1 ∴ b?1 ∴ a?2,c?5 9.（2010陕西文数17）（本小题满分12分） 在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长. 解 在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得 9

cos? 1AD2?DC2?AC2=100?36?196??, 2?10?622ADDC??ADC=120°, ?ADB=60° 在△ABD中，AD=10, ?B=45°, ?ADB=60°， 由正弦定理得ABAD, ?sin?ADBsinB3 ∴AB=ADsin?ADB10sin60?10?2 ???56sinBsin45?2210.（2010辽宁文数17）（本小题满分12分） 在?ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边， 且2asinA?(2b?c)sinB?(2c?b)sinC （Ⅰ）求A的大小； （Ⅱ）若sinB?sinC?1，试判断?ABC的形状. 2解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a?(2b?c)b?(2c?b)c 即a2?b2?c2?bc 由余弦定理得a2?b2?c2?2bccosA 1故cosA??,A?120? 22 （Ⅱ）由（Ⅰ）得sin 又sinB?sinC因为0??A?sin2B?sin2C?sinBsinC. 2?1，得sinB?sinC?1 B?90?,0??C?90?， 故B?C 所以?ABC是等腰的钝角三角形。 11.（2010辽宁理数）（17）（本小题满分12分） 在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 2asinA?(2a?c)sinB?(2c?b)sinC. （Ⅰ）求A的大小； （Ⅱ）求sinB?sinC的最大值. 解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a即 a?b?c?bc 由余弦定理得 a22222?(2b?c)b?(2c?b)c ?b2?c2?2bccosA 10