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2013届福州市高三数学基础回归备考资料

五、平面向量

福州屏东中学 严万亮

一、向量有关概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）

注意向量和数量的区别。如a+（?a）=0?0

向量常用有向线段来表示，但不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。 如已知A（1,2），B（4,2），则把向量AB按向量a＝（－1,3）平移后得到的向量是_____ （答：（3,0））

（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为1的向量(与AB共线的单位向量是?AB)；

|AB|（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量（相等向量有传递性）；

（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量（与

模大小无关），记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。提醒： ①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量（几何位置上）共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有0，它与任意向量共线)；

AC、BC共线； ④三点A、B、C共线?AB、⑤向量不能比较大小.

（6）相反向量：长度相等方向相反的向量。a的相反向量是－a。 如下列命题：

（1）若a?b，则a?b。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。 （3）若AB?DC，则ABCD是平行四边形。 （4）若ABCD是平行四边形，则AB?DC。 （5）若a?b,b?c，则a?c。 （6）若a//b,b//c，则a//c。 （7）a?1,b?2;则a?b

其中正确的是_______（答：（4）（5））

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二、向量的表示方法：

（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后； （2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；

（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量

i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为a?xi?yj??x,y?，称?x,y?为向量a的坐标，a＝?x,y?叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

三.平面向量的基本定理：

如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数?1、?2，使a=?1e1＋?2e2。

如（1）若a?(1,1),b?(1,?1),c?(?1,2)，则c?______（答：a?b）； （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是

A. e1?(0,0),e2?(1,?2) B. e1?(?1,2),e2?(5,7)

C. e1?(3,5),e2?(6,10) D. e1?(2,?3),e2?(,?)（答：B）；

（3）已知AD,BE分别是?ABC的边BC,AC上的中线,且AD?a,BE?b,则BC可用向量

12341232a,b表示为_____（答：a?b）；

（4）已知?ABC中，点D在BC边上，且CD?2DB，CD?rAB?sAC，则r?s的值是___（答：0） 四、向量的运算： 1.向量的线线运算：

①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设AB?a,BC?b，那么向量AC叫做a与b的和，即a?b?AB?BC?AC；

②向量的减法：用“三角形法则”：设AB?a,AC?b,那么a?b?AB?AC?CA，由

减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。 如（1）化简：①AB?BC?CD?___；

②AB?AD?DC?____；

③(AB?CD)?(AC?BD)?_____（答：①AD；②CB；③0）；

???????????????234322）（2）若正方形ABCD的边长为1，AB?a,BC?b,AC?c，则|a?b?c|＝_____（答：； （3）若O是ABC所在平面内一点，且满足OB?OC?OB?OC?2OA，则ABC的形状为____（答：直角三角形）；

（4）若D为?ABC的边BC的中点，?ABC所在平面内有一点P，满足PA?BP?CP?0，

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设

|AP|??，则?的值为___（答：2）； |PD|（5）若点O是△ABC的外心，且OA?OB?CO?0，则△ABC的内角C为____（答：120）； ③实数与向量的积：实数?与向量a的积是一个向量，记作?a，它的长度为?a 方向与?的符号有关：当?>0时，?a的方向与a的方向相同，当?<0时，?a的方向与a的方向相反，当?＝0时，?a?0，注意：?a≠0。（数乘即向量的伸缩及方向变化） 2.平面向量的数量积：

（1）两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作OA?a,OB?b，?AOB??

?0?????称为向量a，b的夹角，当?＝0时，a，b同向，当?＝?时，a，b反向，当?＝

?时，a，b垂直。 2（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为?，我们把数量

|a||b|cos?叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：a?b，即a?b＝abcos?。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

如①△ABC中，|AB|?3，|AC|?4，|BC|?5，则AB?BC?_________（答：－9）； ②已知a?(1,),b?(0,?),c?a?kb,d?a?b，c与d的夹角为（答：1）；

③已知a?2,b?5,ab??3，则a?b等于____（答：23）；

④已知a,b是两个非零向量，且a?b?a?b，则a与a?b的夹角为____（答：30） （3）b在a上的投影为|b|cos???????????????1212?4，则k等于____

a?ba，它是一个实数，但不一定大于0。

??如已知|a|?3，|b|?5，且a?b?12，则向量a在向量b上的投影为______（答：（4）a?b的几何意义：数量积a?b等于a的模|a|与b在a上的投影的积。 （5）向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为?，则：

①a?b?a?b?0；

12） 5②当a，b同向时，a?b＝ab，特别地，a?a?a?a,a?a；当a与b反向

222 b不同向，a?b?0是?为锐角的必要非时，a?b＝－ab；当?为锐角时，a?b＞0，且a、 b不反向，a?b?0是?为钝角的必要非充分条件；充分条件；当?为钝角时，a?b＜0，且a、

③非零向量a，b夹角?的计算公式：cos??a?bab；④|a?b|?|a||b|。

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3.坐标运算：设a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则： ⑴向量的加减法运算：a?b?(x1?x2，y1?y2)。

如 ①已知点A(2,3),B(5,4)，C(7,10)，若AP?AB??AC(??R)，则当?＝____时，点P在

第一、三象限的角平分线上（答：）；

1???②已知A(2,3),B(1,4),且AB?(sinx,cosy)，x,y?(?,)，则x?y? （答：或

222612??2）；

③已知作用在点A(1,1)的三个力F1?(3,4),F2?(2,?5),F3?(3,1)，则合力F?F1?F2?F3的终点坐标是 （答：（9,1））

⑵实数与向量的积：?a???x1,y1????x1,?y1?。 ⑶若A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB??x2?x1y,2?y1线段的终点坐标减去起点坐标。

如设A(2,3),B(?1,5)，且AC?AB，AD?3AB，则C、D的坐标分别是__________ （答：(1,),(?7,9)）；

⑷平面向量数量积：a?b?x1x2?y1y2。

如已知向量a＝（sinx，cosx）, b＝（sinx，sinx）, c＝（－1，0）。

11313?，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向

?，求向量a、c的夹角； 313??②若x∈[?,]，函数f(x)??a?b的最大值为，求?的值

2841（答：(1)150;(2)或?2?1）；

2①若x＝

⑸向量的模：|a|?x2?y2,a?|a|2?x2?y2。

五、向量的运算律：

2??（2）结合律：a?b?c??a?b??c,a?b?c?a??b?c?，??a??b???a?b??a???b?； （3）分配律：?????a??a??a,??a?b???a??b，?a?b??c?a?c?b?c。

（1）交换律：a?b?b?a，??a?????a，a?b?b?a； 如下列命题中：① a?(b?c)?a?b?a?c；② a?(b?c)?(a?b)?c； ③ (a?b)?|a|?2|a|?|b|?|b|；④ 若a?b?0，则a?0或b?0； ⑤若a?b?c?b,则a?c；⑥a?a；⑦22???????????????2?2???2????a?ba2?ba；⑧(a?b)2?a?b；⑨(a?b)2?a?2a?b?b。

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其中正确的是______（答：①⑥⑨）

提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；

（2）向量的“乘法”不满足结合律，即a(b?c)?(a?b)c，为什么？

六、.向量的应用

㈠向量在平面几何中的应用 1.证明线段平行或点共线问题

向量平行(共线)的充要条件：a//b?a??b?(a?b)2?(|a||b|)2?x1y2?y1x2＝0。

如(1)若向量a?(x,1),b?(4,x)，当x＝_____时a与b共线且方向相同（答：2）； （2）已知a?(1,1),b?(4,x)，u?a?2b，v?2a?b，且u//v，则x＝______（答：4）； （3）设PA?(k,12),PB?(4,5),PC?(10,k)，则k＝_____时，A,B,C共线 （答：－2或11） 2.证明垂直问题

向量垂直的充要条件：a?b?a?b?0?|a?b|?|a?b| ?x1x2?y1y2?0. 特别地(ABAB?ACAC)?(ABAB?ACAC)。

3）； 2如（1）已知OA?(?1,2),OB?(3,m)，若OA?OB，则m? （答：

（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，?B?90?，则点B的坐标是________ （答：(1,3)或（3，－1））；

（3）在平行四边形ABCD中，若AB?AD?AB?AD，则必有: A．AD?0 （答：C）

3.求夹角、判断钝角、直角、锐角问题

数量积的夹角公式：cos??? B．AB?0或AD?0

D．ABCD是正方形

C．ABCD是矩形

a?bab??x1x2?y1y2x?x2122y?y??2122（?为非零向量a，b的夹角）

如（1）已知a?(?,2?)，b?(3?,2)，如果a与b的夹角为锐角，则?的取值范围是

41______（答：???或??0且??）；

33·BC?0，则三角形ABC的形状为（ ） （2）已知三角形ABC中，BAＡ．钝角三角形 Ｃ．锐角三角形

Ｂ．直角三角形

Ｄ．等腰直角三角形 (答：Ａ)

( 3 )已知a?(cosx,sinx),b?(cosy,siny),a与b之间

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