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2013届福州市高三数学基础回归备考资料
五、平面向量
福州屏东中学 严万亮
一、向量有关概念:
(1)向量的概念:既有大小又有方向的量叫向量,向量的大小叫做向量的长度(或模)
注意向量和数量的区别。如a+(?a)=0?0
向量常用有向线段来表示,但不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移)。 如已知A(1,2),B(4,2),则把向量AB按向量a=(-1,3)平移后得到的向量是_____ (答:(3,0))
(2)零向量:长度为0的向量叫零向量,记作:0,注意零向量的方向是任意的; (3)单位向量:长度为1的向量(与AB共线的单位向量是?AB);
|AB|(4)相等向量:长度相等且方向相同的向量(相等向量有传递性);
(5)平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量(与
模大小无关),记作:a∥b,规定零向量和任何向量平行。提醒: ①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;
②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量(几何位置上)共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合; ③平行向量无传递性!(因为有0,它与任意向量共线);
AC、BC共线; ④三点A、B、C共线?AB、⑤向量不能比较大小.
(6)相反向量:长度相等方向相反的向量。a的相反向量是-a。 如下列命题:
(1)若a?b,则a?b。
(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同。 (3)若AB?DC,则ABCD是平行四边形。 (4)若ABCD是平行四边形,则AB?DC。 (5)若a?b,b?c,则a?c。 (6)若a//b,b//c,则a//c。 (7)a?1,b?2;则a?b
其中正确的是_______(答:(4)(5))
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二、向量的表示方法:
(1)几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如AB,注意起点在前,终点在后; (2)符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如a,b,c等;
(3)坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量
i,j为基底,则平面内的任一向量a可表示为a?xi?yj??x,y?,称?x,y?为向量a的坐标,a=?x,y?叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
三.平面向量的基本定理:
如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数?1、?2,使a=?1e1+?2e2。
如(1)若a?(1,1),b?(1,?1),c?(?1,2),则c?______(答:a?b); (2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是
A. e1?(0,0),e2?(1,?2) B. e1?(?1,2),e2?(5,7)
C. e1?(3,5),e2?(6,10) D. e1?(2,?3),e2?(,?)(答:B);
(3)已知AD,BE分别是?ABC的边BC,AC上的中线,且AD?a,BE?b,则BC可用向量
12341232a,b表示为_____(答:a?b);
(4)已知?ABC中,点D在BC边上,且CD?2DB,CD?rAB?sAC,则r?s的值是___(答:0) 四、向量的运算: 1.向量的线线运算:
①向量加法:利用“平行四边形法则”进行,但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量,如此之外,向量加法还可利用“三角形法则”:设AB?a,BC?b,那么向量AC叫做a与b的和,即a?b?AB?BC?AC;
②向量的减法:用“三角形法则”:设AB?a,AC?b,那么a?b?AB?AC?CA,由
减向量的终点指向被减向量的终点。注意:此处减向量与被减向量的起点相同。 如(1)化简:①AB?BC?CD?___;
②AB?AD?DC?____;
③(AB?CD)?(AC?BD)?_____(答:①AD;②CB;③0);
???????????????234322)(2)若正方形ABCD的边长为1,AB?a,BC?b,AC?c,则|a?b?c|=_____(答:; (3)若O是ABC所在平面内一点,且满足OB?OC?OB?OC?2OA,则ABC的形状为____(答:直角三角形);
(4)若D为?ABC的边BC的中点,?ABC所在平面内有一点P,满足PA?BP?CP?0,
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设
|AP|??,则?的值为___(答:2); |PD|(5)若点O是△ABC的外心,且OA?OB?CO?0,则△ABC的内角C为____(答:120); ③实数与向量的积:实数?与向量a的积是一个向量,记作?a,它的长度为?a 方向与?的符号有关:当?>0时,?a的方向与a的方向相同,当?<0时,?a的方向与a的方向相反,当?=0时,?a?0,注意:?a≠0。(数乘即向量的伸缩及方向变化) 2.平面向量的数量积:
(1)两个向量的夹角:对于非零向量a,b,作OA?a,OB?b,?AOB??
?0?????称为向量a,b的夹角,当?=0时,a,b同向,当?=?时,a,b反向,当?=
?时,a,b垂直。 2(2)平面向量的数量积:如果两个非零向量a,b,它们的夹角为?,我们把数量
|a||b|cos?叫做a与b的数量积(或内积或点积),记作:a?b,即a?b=abcos?。规定:零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量。
如①△ABC中,|AB|?3,|AC|?4,|BC|?5,则AB?BC?_________(答:-9); ②已知a?(1,),b?(0,?),c?a?kb,d?a?b,c与d的夹角为(答:1);
③已知a?2,b?5,ab??3,则a?b等于____(答:23);
④已知a,b是两个非零向量,且a?b?a?b,则a与a?b的夹角为____(答:30) (3)b在a上的投影为|b|cos???????????????1212?4,则k等于____
a?ba,它是一个实数,但不一定大于0。
??如已知|a|?3,|b|?5,且a?b?12,则向量a在向量b上的投影为______(答:(4)a?b的几何意义:数量积a?b等于a的模|a|与b在a上的投影的积。 (5)向量数量积的性质:设两个非零向量a,b,其夹角为?,则:
①a?b?a?b?0;
12) 5②当a,b同向时,a?b=ab,特别地,a?a?a?a,a?a;当a与b反向
222 b不同向,a?b?0是?为锐角的必要非时,a?b=-ab;当?为锐角时,a?b>0,且a、 b不反向,a?b?0是?为钝角的必要非充分条件;充分条件;当?为钝角时,a?b<0,且a、
③非零向量a,b夹角?的计算公式:cos??a?bab;④|a?b|?|a||b|。
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3.坐标运算:设a?(x1,y1),b?(x2,y2),则: ⑴向量的加减法运算:a?b?(x1?x2,y1?y2)。
如 ①已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若AP?AB??AC(??R),则当?=____时,点P在
第一、三象限的角平分线上(答:);
1???②已知A(2,3),B(1,4),且AB?(sinx,cosy),x,y?(?,),则x?y? (答:或
222612??2);
③已知作用在点A(1,1)的三个力F1?(3,4),F2?(2,?5),F3?(3,1),则合力F?F1?F2?F3的终点坐标是 (答:(9,1))
⑵实数与向量的积:?a???x1,y1????x1,?y1?。 ⑶若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB??x2?x1y,2?y1线段的终点坐标减去起点坐标。
如设A(2,3),B(?1,5),且AC?AB,AD?3AB,则C、D的坐标分别是__________ (答:(1,),(?7,9));
⑷平面向量数量积:a?b?x1x2?y1y2。
如已知向量a=(sinx,cosx), b=(sinx,sinx), c=(-1,0)。
11313?,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向
?,求向量a、c的夹角; 313??②若x∈[?,],函数f(x)??a?b的最大值为,求?的值
2841(答:(1)150;(2)或?2?1);
2①若x=
⑸向量的模:|a|?x2?y2,a?|a|2?x2?y2。
五、向量的运算律:
2??(2)结合律:a?b?c??a?b??c,a?b?c?a??b?c?,??a??b???a?b??a???b?; (3)分配律:?????a??a??a,??a?b???a??b,?a?b??c?a?c?b?c。
(1)交换律:a?b?b?a,??a?????a,a?b?b?a; 如下列命题中:① a?(b?c)?a?b?a?c;② a?(b?c)?(a?b)?c; ③ (a?b)?|a|?2|a|?|b|?|b|;④ 若a?b?0,则a?0或b?0; ⑤若a?b?c?b,则a?c;⑥a?a;⑦22???????????????2?2???2????a?ba2?ba;⑧(a?b)2?a?b;⑨(a?b)2?a?2a?b?b。
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其中正确的是______(答:①⑥⑨)
提醒:(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除(相约);
(2)向量的“乘法”不满足结合律,即a(b?c)?(a?b)c,为什么?
六、.向量的应用
㈠向量在平面几何中的应用 1.证明线段平行或点共线问题
向量平行(共线)的充要条件:a//b?a??b?(a?b)2?(|a||b|)2?x1y2?y1x2=0。
如(1)若向量a?(x,1),b?(4,x),当x=_____时a与b共线且方向相同(答:2); (2)已知a?(1,1),b?(4,x),u?a?2b,v?2a?b,且u//v,则x=______(答:4); (3)设PA?(k,12),PB?(4,5),PC?(10,k),则k=_____时,A,B,C共线 (答:-2或11) 2.证明垂直问题
向量垂直的充要条件:a?b?a?b?0?|a?b|?|a?b| ?x1x2?y1y2?0. 特别地(ABAB?ACAC)?(ABAB?ACAC)。
3); 2如(1)已知OA?(?1,2),OB?(3,m),若OA?OB,则m? (答:
(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,?B?90?,则点B的坐标是________ (答:(1,3)或(3,-1));
(3)在平行四边形ABCD中,若AB?AD?AB?AD,则必有: A.AD?0 (答:C)
3.求夹角、判断钝角、直角、锐角问题
数量积的夹角公式:cos??? B.AB?0或AD?0
D.ABCD是正方形
C.ABCD是矩形
a?bab??x1x2?y1y2x?x2122y?y??2122(?为非零向量a,b的夹角)
如(1)已知a?(?,2?),b?(3?,2),如果a与b的夹角为锐角,则?的取值范围是
41______(答:???或??0且??);
33·BC?0,则三角形ABC的形状为( ) (2)已知三角形ABC中,BAA.钝角三角形 C.锐角三角形
B.直角三角形
D.等腰直角三角形 (答:A)
( 3 )已知a?(cosx,sinx),b?(cosy,siny),a与b之间
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