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2013年中考数学专题复习第二讲:实数的运算
【基础知识回顾】 一、 实数的运算。
1、基本运算:初中阶段我们学习的基本运算有 、 、 、 、 、 和 共六种,运算顺序是先算 ,再算 ,最后算 ,有括号时要先算 ,同一级运算,按照 的顺序依次进行。 2、运算法则:
加法:同号两数相加,取 的符号,并把 相加,异号两数相加,取 的符号,并用较大的 减去较小 的,任何数同零相加仍得 。 减法,减去一个数等于 。
乘法:两数相乘,同号得 ,异号得 ,并把 相乘。 除法:除以一个数等于乘以这个数的 。 乘方:(-a) 2n +1 = (-a) 2n = 3、运算定律:加法交换律:a+b= 加法结合律:(a+b)+c= 乘法交换律:ab= 乘法结合律:(ab)c= 分配律: (a+b)c= 二、零指数、负整数指数幂。
a= (a≠0) ap= (a≠0)
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0【名师提醒:1、实数的混合运算在中考考查时经常与0指数、负指数、绝对值、锐角三角函数等放在一起,计算时要注意运算顺序和运算性质。2、注意底数为分数的负指数运算的结果,如:(
1-1
)= 】 3三、实数的大小比较:
1、比较两个有理数的大小,除可以用数轴按照 的原则进行比较以外,,还有 比较法、 比较法等,两个负数 大的反而小。 2、如果几个非负数的和为零,则这几个非负数都为 。
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【名师提醒:比较实数大小的方法有很多,根据题目所给的实数的类型或形可以式灵活选用。如:比较的大小,可以先结论:10+2 确定10和65的取值范围,然后得2。】
65-
【重点考点例析】
考点一:实数的大小比较。
例1 (2012?西城区)已知13的整数部分为a,小数部分为b,则代数式a2-a-b的值为 .
思路分析:由于3<13<4,由此可得13的整数部分和小数部分,即得出a和b,然后代入代数式求值. 解:∵3<13<4, ∴a=3,b=13-3,
则a2-a-b=32-3-(13-3)=9-3-13+3=9-13, 故答案为:9-13.
点评:此题主要考查了无理数的估算能力,现实生活中经常需要估算,估算应是我们具备的数学能力,“夹逼法”是估算的一般方法,也是常用方法.
例2 (2012?台湾)已知甲、乙、丙三数,甲=5?15,乙=3?17,丙=1?19,则甲、乙、丙的大小关系,下列何者正确?( )
A.丙<乙<甲 B.乙<甲<丙 C.甲<乙<丙 D.甲=乙=丙
思路分析:本题可先估算无理数15,17,19的整数部分的最大值和最小值,再求出甲,乙,丙的取值范围,进而可以比较其大小. 解:∵3=9<15<16=4, ∴8<5+15<9, ∴8<甲<9;
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∵4=16<17<25=5, ∴7<3+17<8, ∴7<乙<8, ∵4=
16<19<25=5,
∴5<1+19<6, ∴丙<乙<甲 故选A.
点评:本题考查了实数的比较大小:(1)任意两个实数都可以比较大小.正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小.
(2)利用数轴也可以比较任意两个实数的大小,即在数轴上表示的两个实数,右边的总比左边的大,在原点左侧,绝对值大的反而小. 对应训练
1.(2012?南京)12的负的平方根介于( ) A.-5与-4之间 B.-4与-3之间 C.-3与-2之间 D.-2与-1之间 答案:B.
2.(2012?宁夏)已知a、b为两个连续的整数,且a<11<b,则a+b= . 答案:7
考点二:实数的混合运算。
例3 (2012?岳阳)计算:3?3?()?(2012??)?2cos30.
思路分析:本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值等考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果. 解:原式=3-3+3-1+2×13?103 =3-3+3-1+3 =5. 2点评:本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值等考点.
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对应训练
3.(2012?肇庆)计算:|?32|?6sin45?4?1. 3.解:原式=32?6?1121? =32?32? =.
4424考点三:实数中的规律探索。
例4 (2012?张家界)阅读材料:对于任何实数,我们规定符号
abcd的意义是
abcd=ad-bc.例如:
12?24?1?4?2?3??2,?(?2)?5?4?3??22. 343556的值; 78x?12x的值.
x?12x?3(1)按照这个规定,请你计算
(2)按照这个规定,请你计算:当x2-4x+4=0时,
思路分析:(1)根据符号
abcd的意义得到
56=5×8-7×6,然后进行实数的乘法运算,78再进行实数的减法运算即可;
(2)利用配方法解方程x2-4x+4=0得x=2,则的意义得到3×1-4×1,再进行实数的运算.
x?12x34ab=,然后根据符号
x?12x?311cd56解:(1)=5×8-7×6=-2;
78(2)由x2-4x+4=0得(x-2)2=4, ∴x=2,
x?12x34∴==3×1-4×1=-1. x?12x?311点评:本题考查了实数的运算:先进行乘方或开方运算,再进行乘除运算,然后进行加减运算.也考查了配方法解一元二次方程以及阅读理解能力.
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