内容发布更新时间 : 2025/2/13 0:47:36星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

[考纲传真] 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.4.理解直线的方向向量及平面的法向量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．

1．空间向量的有关概念

名称 空间向量 相等向量 相反向量 共线向量(或平行向量) 共面向量 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.

(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，

定义 在空间中，具有大小和方向的量 方向相同且模相等的向量 方向相反且模相等的向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 平行于同一个平面的向量 z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．

3．两个向量的数量积

(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a；

③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．

数量积 共线 垂直 模 夹角

向量表示 坐标表示 a·b a＝λb(b≠0，λ∈R) a·b＝0(a≠0，b≠0) |a| 〈a，b〉(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 22a21＋a2＋a3 cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3 22222a2＋a＋a·b＋b＋b1231231

5.空间位置关系的向量表示

位置关系 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 向量表示 l1∥l2 l1⊥l2 l∥α l⊥α α∥β α⊥β n1∥n2?n1＝λn2 n1⊥n2?n1·n2＝0 n⊥m?n·m＝0 n∥m?n＝λm n∥m?n＝λm n⊥m?n·m＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m 平面α，β的法向量分别为n，m [常用结论] →→→

1．对空间任一点O，若OP＝xOA＋yOB(x＋y＝1)，则P，A，B三点共线．

→→→→

2．对空间任一点O，若OP＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)，则P，A，B，C四点共面．

3．平面的法向量的确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程

??n·a＝0，组为?

??n·b＝0.

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中任意两非零向量a，b共面．( )

→→→→

(2)若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0.( ) (3)设{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．( ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×

2．(教材改编)设u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t＝( ) A．3 B．4 C．5

D．6

C [∵α⊥β，则u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0， ∴t＝5.]

→→

3．(教材改编)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB＝a，AD→

＝b，AA1＝c，则下列向量中与BM相等的向量是( ) 11

A．－a＋b＋c

2211

B.a＋b＋c 2211

C．－a－b＋c

22

2

→

11

D.a－b＋c 22

→→→→1→→111

A [BM＝BB1＋B1M＝AA1＋(AD－AB)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.]

2222

4．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是( ) A．(－1,1,1) C.?－

B．(1，－1,1) D.?

33??3

，，－? 33??3

?

?333?，－，－? 333?

C [设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，

?n·→AB＝0，则?→

?n·AC＝0，

??－x＋y＝0，化简得?

?－x＋z＝0，?

∴x＝y＝z.故选C.]

5．(教材改编)已知a＝(2,3,1)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，则|b|＝________. 26 [∵a⊥b，∴a·b＝0，即－8＋6＋x＝0，∴x＝2. ∴b＝(－4,2,2)，∴|b|＝16＋4＋4＝26.]

空间向量的线性运算

1.如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点→→→→→→

G在线段MN上，且MG＝2GN，若OG＝xOA＋yOB＋zOC，则x＋y＋z＝________. →→→5

[连接ON，设OA＝a，OB＝b，OC＝c， 6

→→→1→→1→111则MN＝ON－OM＝(OB＋OC)－OA＝b＋c－a，

22222→

→→1→2→

OG＝OM＋MG＝OA＋MN

23

12?111?111

＝a＋?b＋c－a?＝a＋b＋c. 23?222?633

→→→→111又OG＝xOA＋yOB＋zOC，所以x＝，y＝，z＝，

6331115

因此x＋y＋z＝＋＋＝.]

6336

3