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不定方程与不定方程组

教学目标

1.利用整除及奇偶性解不定方程 2.不定方程的试值技巧

3.学会解不定方程的经典例题

知识精讲

一、知识点说明 历史概述

不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．

考点说明

在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

二、不定方程基本定义

1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。

2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。 3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解

三、不定方程的试值技巧

1、奇偶性

2、整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性） 3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）

例题精讲

模块一、利用整除性质解不定方程

【例 1】 求方程 2x－3y＝8的整数解

【考点】不定方程 【难度】2星 【题型】解答

3【解析】 方法一：由原方程，易得 2x＝8＋3y，x＝4＋y，因此，对y的任意一个值，都有一个x与之对应，

2并且，此时x与y的值必定满足原方程，故这样的x与y是原方程的一组解，即原方程的解可表为：

3??x?4?k2，其中k为任意数．说明 由y取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解． ???y?k方法二：根据奇偶性知道2x是偶数，8为偶数，所以若想2x－3y＝8成立，y必为偶数，

当y＝0，x＝4；当y＝2，x＝7；当y＝4，x＝10……，本题有无穷多个解。

【答案】无穷多个解

【巩固】 求方程2x＋6y＝9的整数解

【考点】不定方程 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 因为2x＋6y＝2(x＋3y)，所以，不论x和y取何整数，都有2|2x＋6y，但2?9，因此，不论x和y

取什么整数，2x＋6y都不可能等于9，即原方程无整数解． 说明：此题告诉我们并非所有的二元一次方程都有整数解。

【答案】无整数解

【例 2】 求方程4x＋10y＝34的正整数解

【考点】不定方程 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得 2x＋5y＝17，5y的个位是0或5两种

情况，2x是偶数，要想和为17，5y的个位只能是5，y为奇数即可；2x的个位为2，所以x的取值为1、6、11、16……

x＝1时，17－2x＝15，y＝3， x＝6时，17－2x＝ 5，y＝1， x＝11时，17－2x＝17 －22，无解

?x?1?x?6,?所以方程有两组整数解为：? y?3y?1???x?1?x?6,?【答案】? ?y?3?y?1

【巩固】 求方程3x＋5y＝12的整数解

【考点】不定方程 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 由3x＋5y＝12，3x是3的倍数，要想和为12（3的倍数），5y也为3的倍数，所以y为3的倍数即

可，所以y的取值为0、3、6、9、12…… y＝0时，12－5y＝12，x＝4， x＝3时，12－5y＝12－15，无解

?x?4所以方程的解为：?

y?0??x?4【答案】?

y?0?

【巩固】 解不定方程：2x?9y?40（其中x,y均为正整数）

【考点】不定方程 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 方法一：2x是偶数，要想和为40（偶数），9y也为偶数，即y为偶数，也可以化简方程2x?9y?40，

x??x?11?x?240?9xy,? ?20?5y?知道y为偶数，所以方程解为：?y?2y?422???x?11?x?2,?【答案】? y?2y?4??

模块二、利用余数性质解不定方程

【例 3】 求不定方程7x?11y?1288的正整数解有多少组？

【考点】不定方程 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 本题无论x或是y，情况都较多，故不可能逐一试验．检验可知1288是7的倍数，所以11y也是7

的倍数，则y是7的倍数．

设y?7z，原方程可变为x?11z?184，z可以为1，2，3，……16．由于每一个z的值都确定了原方程的一组正整数解，所以原方程共有16组正整数解．

【答案】16组

【例 4】 求方程3x＋5y＝31的整数解

【考点】不定方程 【难度】3星 【题型】解答

31?5y1?y【解析】 方法一：利用欧拉分离法，由原方程，得 x＝，即 x＝10－2y＋，要使方程有整数解

331?y必须为整数． 31?y取y＝2，得x＝10－2y＋＝10－4＋1＝7，故x＝7，y＝2

31?y当y＝5，得x＝10－2y＋＝10－10＋2＝2，故x＝2，y＝5

31?y当y＝8，得x＝10－2y＋＝10－16＋3无解

3?x?7?x?2,? 所以方程的解为：? y?2y?5??方法二：利用余数的性质

3x是3的倍数，和31除以3余1，所以5y除以3余1（2y除以3余1），根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为：

取y＝1，2y＝2，2÷3＝0……2（舍） y＝2，2y＝4，4÷3＝1……1（符合题意） y＝3，2y＝6，6÷3＝2（舍） y＝4，2y＝8，8÷3＝2……2（舍） y＝5，2y＝10，10÷3＝3……1（符合题意） y＝6，2y＝12，12÷3＝4（舍）

当y＞6时，结果超过31，不符合题意。

?x?7?x?2,?所以方程的解为：? y?2y?5???x?7?x?2,?【答案】? y?2y?5??

【巩固】 解方程7x?4y?89，（其中x、y均为正整数）

【考点】不定方程 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：7x?4y?89，4y是4的倍数，和89除以4余1，所以7x除以4余1（7÷4≡3），可以看成

3x除以4余1，根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为（x＜13）

x＝1，3x＝3，3÷4≡3（舍） x＝2，3x＝6，6÷4≡2（舍）

x＝3，3x＝9，9÷4≡1（符合题意） x＝4，3x＝12，12÷4≡0（舍） x＝5，3x＝15，15÷4≡3（舍） x＝6，3x＝18，18÷4≡2（舍）

x＝7，3x＝21，21÷4≡1（符合题意） x＝8，3x＝24，24÷4≡0（舍） x＝9，3x＝27，27÷4≡3（舍） x＝10，3x＝30，30÷4≡2（舍）

x＝11，3x＝33，33÷4≡1（符合题意） x＝12，3x＝36，36÷4≡0（舍）