内容发布更新时间 : 2024/5/3 7:07:13星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

泛函分析 一，距离空间

定义1.1.1设X是任一非空集合，对于X中的任意两点x,y，均有一个实数d(x,y)与它对应，且满足： 1）d(x,y)≥0（非负性）

2）d(x,y)=0当且仅当x=y(严格正) 3）d(x,y)=d(y,x)

4）d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)（三角不等式）

则称d(x,y)为X中的一个距离，定义了距离d的集合称为一个距离空间，记为（X,d），有时简记为X。

1.2设（X,d）是一个距离空间，X中的一个数列，存在X中的任意点，如果当n趋于无穷时，这个数列按照距离收敛到这个点，则称这个数列以这点收敛。

1.3d(x,y)是x,y的二元函数，若当存在一个x的数列收敛到x,存在一个y的数列收敛到y，则这个距离关于x,y的二元函数也收敛。(利用三角不等式证明) 2.1开球的定义

（X,d）是一个距离空间，r>0，集合B(x0,r)={x∈X|d(x,x0)

有界集：称A为有界集，若存在一个开球，使得A属于这个开球。 内点：称x0为集合G的内点，若存在一个开球B(x0,r)属于G。

开集：称G为开集，若G中的每一个点都是它的内点。

闭集：开集的补集就是闭集。（若用接触点定义闭集就是，A的接触点的全体称为A的闭包，也就是闭集。）

闭集的等价条件是这个集合中的收敛点列收敛到这个集合中的元素。 全空间和空集即使开集也是闭集。

任意个开集的并是开集，有限个开集的交是开集。 任意个闭集的交是闭集，有限个闭集的并是闭集。

等价距离：两个距离空间称为等价距离，如果它们之间可以互相表示。 连续映射：在两个距离空间之间存在一个映射：T，称T为连续映射。 若在定义域的距离空间中存在一个开集，经过映射T，在另一个距离空间定义的距离下是任意小的。

映射T是连续的等价于值域里的开集的原像仍然是开集。

接触点：点x0称为A的接触点，若存在一个x0的开球与A的交不为空集。（点x0可以属于A，也可以不属于A）

聚点：点x0称为点A的聚点，若存在点x0的任意一个开球与A\\{x0}的交不为空集。（聚点一定是接触点，但接触点不一定是聚点。） 稠密集：称B在A中稠密，若A包含于B的闭包。

可分：一个空间称为可分的，若这空间中存在一个可数的稠密子集。 列紧集：称A为列紧集，若A中的每一个无穷点列都有一个收敛的子列。

如果X是列紧集，那么X一定是有界集。反之不一定。 一致有界：即存在K>0,使得对于每一点t∈[a,b]及一切x∈A，

|x(t)|≤K

等度连续：对于任意的ε>0，存在δ>0,当|t1-t2|<δ时， |x(t1)-x(t2)|<ε (任意x∈A)

完备的距离空间：称X是完备的距离空间，若X中的任意柯西列都收敛。

完备空间的任一闭子空间的都是完备的。 列紧空间是完备的距离空间。

完备距离空间的性质：闭球套定理，压缩映射原理（banach不动点定理）。