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2013-2014-2实变函数复习题
一、选择题
1、?A\\B?\\C?A\\?B\\C?成立的充分必要条件是（ ）
A、A?B B、B?A C、A?C D、C?A 2、设M是任意一个集合，N是M的所有子集构成的集合，则它们的基数之间的关系是( )
A、M
? D、不能判定
3、设{Fn}是一列闭集，F?n?1Fn,则F一定是( )
A、开集 B、闭集 C、开集，也是闭集 D、不能确定 4、关于Cantor集P，下述哪个说法不成立？（ ） ．A、 P无内点
B、P的测度为0
C、 P由可数个闭区间组成
5．设P是Cantor集，则（ ） A．P与R对等，且P的测度为0 C．P与R不对等，且P的测度为0 A.P无内点
nn
D、P是完备集
B．P与R对等，且P的测度为1 D．P与R不对等，P的测度为1
B.P中的点都为孤立点
nn
6.关于Cantor集P，下述哪个说法不成立？（ ）
C.P中的点都为聚点 D.P是闭集 7．有限个可数集的并集是（ ）
A.有限集 B.可数集 C.不可数集 D.无法确定 8. 任意个闭集的交集是( )
A. 开集 B. C. 既是开集，又是闭集 D. 既不是开集，也不是闭集 9、设E是闭区间[0,1]中的无理点集，则（ ）
A、mE?1 B、mE?0 C、E是不可测集 D、E是闭集
10．设Q是R中有理数的全体，则在R中Q的闭包Q是( ) A.Q B.? C.R
D.R＼Q
D.-∞
11、设E是R中无理数全体，则mE（ ）
A.0 B.1 C.＋∞
12、 设f(x)在E上可测，则E[x;f(x)???]是( )
A. 可测集 B. 不可测集 C. 空集 D. 无法判定 13、设f(x)与g(x)在E上可测，则E[x;f(x)?g(x)]是( )。
A、 可测集 B、不可测集 C、 空集 D、无法判定
14、设mE???，fn?x?是E上几乎处处有限的可测函数列，f?x?是E上几乎处处有限的可测函数，则fn?x?几乎处处收敛于f?x?是fn?x?依测度收敛于f?x?的（ ）
??????A、必要条件 B、充分条件 C、充分必要条件 D、无关条件
15、设{fn(x)}｝是一列可测函数，则inffn(x)是( )
nA. 可测函数 B. 不可测函数 C. 连续函数 D. 可导函数 16．设f(x)在E上有定义，D与D'是E的两个分划，D'是D的加细，sD与sD'分别表示f(x)在E上关于D与D'的小和数，则有( )
A. sD?sD' B. sD?sD' C. sD?sD' D.不能确定 17、设f?x?是E上的可测函数，则（ ）
A、f?x?是E上的连续函数 B、f?x?是E上的勒贝格可积函数
C、f?x?是E上的简单函数 D、f?x?可表示为一列简单函数的极限
18、设f(x)在闭集E?R上R可积，I1=(R)
n?Ef(x)dx，I2=(L)
?Ef(x)dx，则有（ ）
A、I1＜I2 B、I1=I2
19.设An(n?1,2,3（ ）
C、I1＞I2 D、不能比较
?)是一列递增集合，F?limAn，G?n??n?1An，则F与G的外测度满足
A.mF?mG B.mF?mG C. mF?mG D.不能比较 二、填空题
1、设集列?An??满足An?An?1(n?1,2,?),则limAn=______. n?1n??******112.设Gn?(1?,1?)，n?1,2,3,nnn， 则
?Gn?1?n=________.
n3、设E?R，x0?R，如果x0的任何邻域中都含有E的 点，则称x0是E的聚点。
4、设E?R，若E是有界 点集，则E至少有一个聚点。
n115.设Fn?[,1?]，n?3,4,nn6.设E?([0,1]?Q)，则
?Fn?3?n=__ .
([3,7]Q)，则mE=_________.
7.设E是［0，1］中无理数全体，则mE＝_________. 8.设An(n?1,2,3,)是一列集合，则??Am=_____.
n?1m?n??9、设 Sn?(n,?)(n?1,2,3,)，则limmSn =______.
n??10、设f(x)是［0，1］上的单调函数，E是f(x)的连续点全体，则mE=________. 11、设f?x?是E上的可测函数，mA?0，则f?x?是E12、设f(x)在E上可测,?a?R,?A上的 函数。
1??E?x;f(x)?a???______. n?1n??13.函数f(x)在E上几乎处处有界是指__除掉一个测度为零的子集以处在E上处处有界_. 14、设在E上，fn?x?依测度收敛于f?x?，则存在fn?x?的子列fnk?x?，使得在E上，fnk?x? 于f?x?。
15.设f(x)在E?Rn上Lebesgue可积，f?(x),f?(x)分别表示f(x)的正部与负部，且I1??????????Ef?(x)dx,I2??Ef?(x)dx,则
?f(x)dx=______.
E????16.设f(x)与f(x)分别是f(x)的正部与负部,则f(x)用f(x)与f(x)表示为
f(x)=______.
17、设f(x)在E上Lebesgue可积,则对任意可测子集A?E,lim18、设{fn(x)}是E上的非负可测函数列，则19、设f(x)是可测集E上可积函数，E??mA?0?f(x)dx=______
A?En??limfn(x)dx______limn??E?fn(x)dx.
?E(E?Ejij?1?j??,i?j)，记I1??f(x)dx，
EI2???f(x)dx，则它们的大小关系是______.
i?1Ei三、解答题
1、设A是一无穷集合，证明必有A*?A，使A*~A且A?A*可数． 2、设f?x?是R1上的实值连续函数，a是任意给定的实数，证明G?xf?x??a是闭集。
3、证明：只要E可测，??0，就有开集G?E，闭集F?E，使m(G?E)??，
??m(E?F)??．
4、设在可测集E上，fn?x??f?x?，且fn?x??fn?1?x?a.e于E?n?1,2,试证明：limfn?x??f?x?a.e.于E.
n???，
5、设f(x)在E上可积，En?E，n?1,2,3,lim?f(x)dx??limf(x)dx
n??EnEnn??是E的一串收敛的可测子集，证明
6、证明lim?n??nxdx?0。
01?n2x21