内容发布更新时间 : 2025/1/11 15:21:06星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

2.1 指数函数

2.1.1 指数与指数幂的运算(第一课时)

学习目标

①理解n次方根与根式的概念;

②正确运用根式运算性质化简、求值; ③了解分类讨论思想在解题中的应用.

合作学习

一、设计问题,创设情境

问题:当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢?我们可以先来考虑这样的问题:

当生物死亡了5730,2×5730,3×5730,…年后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少?

当生物体死亡了6000年,10000年,100000年后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少?

由以上的实例来推断生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系式应该是什么?

考古学家根据上式可以知道,生物死亡t年后,体内碳14含量P的值.那么这些数(

,(,(的意义究竟是什么呢?这正是我们将要学习的知识. 二、学生探索,尝试解决

问题1:什么是一个数的平方根?什么是一个数的立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢?

问题2:如果x4=a,x5=a,又有什么样的结论呢?

问题3:①如果x2=a,那么x叫做a的平方根;②如果x3=a,那么x叫做a的立方根;③如果x4=a,那么x叫做a的4次方根.你能否据此得到一个一般性的结论?

问题4:上述结论中的n的取值有没有什么限制呢?

方根的定义:

一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*. 三、信息交流,揭示规律

试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根. (多媒体显示,学生完成)

(1)25的平方根是 ; (2)27的立方根是 ; (3)-32的5次方根是 ; (4)16的4次方根是 ; (5)a6的立方根是 ; (6)0的7次方根是 .

问题5:观察并分析以上各数的方根,你能发现什么?

问题6:请仔细分析上述各题,并结合问题5中同学们发现的结论,你能否得到一个一般性的结论?

问题7:是否任何一个数都有偶次方根?0的n次方根如何规定更合理?

问题8:同学们能否把所得到的结论再总结得具体一些呢?

n次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推广,因此跟立方根和平方根的情况一样,方根也有如下性质:

(1)当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.这时,a的n次方根用符号 表示.

(2)当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.这时,正数a的正的n次方根用符号 表示,负的n次方根用符号 表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 (a>0).

注:①负数没有偶次方根;

②0的任何次方根都是0,记作=0; ③当a≥0时,≥0,所以类似=±2的写法是错误的. 另外,我们规定:

式子叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数.

问题9:利用上面所学n次方根的知识,能否求出下列各式的值? (1)(

)2;(2)

;(3)

;(4)

(a>0).

问题10:上面的计算涉及了哪几类问题?

组织学生结合例题及其解答,进行分析讨论,归纳出以下结论: (1)()n=a.例如,()3=27,()5=-32. (2)当如,

=-2,

n

是奇数时,=2;

=3,

=a;当=|-3|=3.

n

是偶数时,

=|a|=

例

四、运用规律,解决问题 【例1】求下列各式的值: (1)((3)

【例2】化简下列各式: (1)

五、变式演练,深化提高

1.若x∈R,y∈R,下列各式中正确的是( )

A.

C.2.A.

≥0 =x+y

B.=2x

=x-y

D.

=0

;(2)

;(3)

;(4)

;(5)

.

)3;(2);(4)

; (a>b).

成立的条件是( ) B.x≠1 ;②B.①③

;③

C.x<1 ;④

D.x≥2

3.在①A.①②

(各式中n∈N,a∈R)中,有意义的是( )

D.①③④

C.①②③④ = .

4.当8

六、反思小结,观点提炼

1.若xn=a(n>1,n∈N*),则x叫做a的n次方根.当n是奇数时,实数a的n次方根用符号 表示;当n是偶数时,正数a的n次方根用符号 表示,负数的偶次方根无意义.式子叫