内容发布更新时间 : 2024/5/20 13:03:39星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第四节 直线与平面垂直的判定与性质

本节主要包括2个知识点：1.直线、平面垂直的判定与性质；2.平行与垂直的综合问题.

突破点(一) 直线、平面垂直的判定与性质

1．直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 垂直于同一个平面的两条直线平行 图形语言 符号语言 判定定理 a，b?αl⊥aa∩b＝Ol⊥b??? ?l⊥α ??性质定理 a⊥α????a∥b ?b⊥α?2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交， 如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理： 判定定理 文字语言 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 图形语言 符号语言 l?β????α⊥β ?l⊥α?性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 α⊥βl?β????l⊥α α∩β＝a??l⊥a 直线与平面垂直的判定与性质

[例1] 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：

(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE.

[证明] (1)在四棱锥P-ABCD中，

∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD， ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC.

而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.

(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中点， ∴AE⊥PC.

由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面PCD.

而PD?平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A， ∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD， ∴AB⊥PD.

又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE. [方法技巧]

证明直线与平面垂直的方法

(1)定义法：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面(不常用)；

(2)判定定理(常用方法)；

(3)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(客观题常用)；

(4)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它必垂直于另一个平面(客观题常用)；

(5)若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面(常用方法); (6)若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面(客观题常用)．

平面与平面垂直的判定与性质

[例2] 如图，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：

(1)CE∥平面PAD； (2)平面EFG⊥平面EMN.

[证明] (1)法一：如图，取PA的中点H，连接EH，DH. 因为E为PB的中点， 所以EH∥AB，EH＝1

2AB.

又AB∥CD，CD＝1

2AB，

所以EH∥CD，EH＝CD， 因此四边形DCEH是平行四边形． 所以CE∥DH.

又DH?平面PAD，CE?平面PAD， 所以CE∥平面PAD. 法二：如图，连接CF. 因为F为AB的中点， 所以AF＝1

2AB.

又CD＝1

2AB，

所以AF＝CD. 又AF∥CD，

所以四边形AFCD为平行四边形． 因此CF∥AD.

又CF?平面PAD，AD?平面PAD， 所以CF∥平面PAD.

因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA. 又EF?平面PAD，PA?平面PAD， 所以EF∥平面PAD.

因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD. 又CE?平面CEF， 所以CE∥平面PAD.

(2)因为E，F分别为PB，AB的中点， 所以EF∥PA.

又AB⊥PA，所以AB⊥EF. 同理可证AB⊥FG.

又EF∩FG＝F，EF?平面EFG，FG?平面EFG，