内容发布更新时间 : 2024/5/24 16:54:59星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

2.2 二项分布及其应用

典题精讲

【例1】 掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率.

思路分析:首先搞清所求概率是在什么条件下的事件的概率.利用古典概率进行求解.

解：设事件A为“两颗点数之和为7”,事件B为“一颗点数为1”.两颗点数之和为7的种数为3,其中有一颗为1点的种数为1,故所求概率为P=

.

绿色通道：在等可能性事件的问题中,求条件概率可采用古典概型的方法更容易理解.计算出基本事件的总数,然后算出有利事件数,从而求出概率.

变式训练 掷两颗均匀的骰子,已知点数不同,求至少有一个为6的概率. 解：在“点数不同”(事件A)的条件下,总的基本事件数为的(事件B)事件的个数为

×2=10,∴P(B|A)=

.

=30，至少有一个点数为6

【例2】 某学校一年级共有学生100名，其中男生60人，女生40人；来自北京的有20人，其中男生12人，若任选一人是女生，问该女生来自北京的概率是多少？

思路分析:与例1不同的是此题适合运用条件概率的公式来求解,分清事件A,事件AB.

解：A={任选一人是女生}，B={任选一人来自北京}，依题意知道北京的学生有女生8名，这是一个条件概率问题，即计算P（B|A）.

由于P（A）=,P(AB)=,则P(B|A)=.

绿色通道：求条件概率问题要把握在什么前提条件下的概率问题,也就是搞清事件A、事件B、以及事件AB和它们发生的概率，再利用条件概率公式进行求解. 变式训练 根据历年气象资料统计，某地四月份刮东风的概率是率是

，既刮东风又下雨的概

.问该地四月份刮东风与下雨的关系是否密切？以“四月份刮东风”的条件下，

“某地四月份下雨”的概率的大小来说明.

解:设A为“某地四月份刮东风”，B为“某地四月份下雨”，则P(A)=

,P(B)=

,在

“某地四月份刮东风”的条件下，“某地四月份下雨”的概率P(B|A)=.

【例3】 甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为(1)两个人都译出密码的概率; (2)两个人都译不出密码的概率; (3)恰有一人译出密码的概率; (4)至多一人译出密码的概率; (5)至少一人译出密码的概率.

和,求:

思路分析:把甲独立破译记为事件A,乙独立破译记为事件B,A与B相互独立, 独立.

解:记A为甲独立的译出密码,B为乙独立的译出密码. (1)两个人都译出密码的概率P(AB)=P(A)P(B)=(2)P(

两)=P(

个)P(

人

都

译

不

出

密

. 码.

的

概

与B也相互

率为

)=[1-P(A)][1-P(B)]=

(3)恰有一人译出密码分为两类:甲译出乙译不出;乙译出甲译不出,即∴P(

)=P(

)+P(

)=P(A)P(

)+P(

)P(B)=

.

(4)至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码, ∴1-P(AB)=1-P(A)P（B）=

.

(5)至少一人译出密码的对立事件为两人都没有译出密码, ∴1-P(

)=

.

绿色通道：求相互独立事件同时发生的概率时,运用公式P(AB)=P(A)P(B).在解决问题时,要搞清事件是否独立,同时要注意把复杂事件分解为若干简单事件来处理,同时还要注意运用对立事件把问题简化.

变式训练 甲、乙、丙三人分别独立解一道题,甲做对的概率为三人全做错的概率为

.

,三人都做对的概率为

,

(1)分别求乙、丙两人各自做对此题的概率; (2)求甲、乙、丙中恰有一人做对此题的概率.

解：(1)设甲、乙、丙三人各自做对此题分别为事件A、B、C,则P(A)=

,由题意可知:

解得P(B)=,P(C)=或P(B)=,P(C)=.

(2)设甲、乙、丙中恰有一人做对此题为事件D,则 P(D)=P(A)P(

)P(

)+P(

)P(B)P(

)+P(

)P(

)P(C)=

.

【例4】 设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5.

（1）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率； （2）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率.

思路分析:至少一人命中可考虑对立事件无人命中;恰有两人命中要分为三个互斥事件,具体哪两个命中;甲单独射击目标3次就是独立重复试验问题.

解:（1）设Ak表示“第k人命中目标”，k=1、2、3.这里，A1，A2，A3独立，且P（A1）=0.7，P（A2）=0.6，P（A3）=0.5.从而，至少有一人命中目标的概率为1-P（P（

）P（

）=1-0.3×0.4×0.5=0.94.

）=1-P（

）

恰有两人命中目标的概率为 P(A1A2

+A1

A3+

A2A3)=P(A1A2

)+P(A1

A3)+P(

A2A3)=P(A1)P(A2)P(

)+P(A1)P(

)P(A3)+P()P(A2)P(A4)=0.7×0.6×0.5+0.7×0.4×0.5+0.3×0.6×0.5=0.44.

答：至少有一人命中目标的概率为0.94，恰有两人命中目标的概率为0.44. (2)设甲每次射击为一次试验，从而该问题构成三次重复独立试验.又已知在每次试验中事件“命中目标”发生的概率为0.7，故所求概率为P3（2）=

0.7×0.3=0.441.

2

答：他恰好命中两次的概率为0.441.

绿色通道：求较复杂的事件的概率问题要注意: (1)把复杂事件分解为若干简单事件; (2)分别求出每个简单事件的概率.

变式训练 甲、乙、丙三人向同一飞机射击,设击中目标的概率分别为0.4、0.5、0.8.如果只有一人击中,则飞机被击落的概率为0.2,如果有两人击中,则飞机被击落的概率为0.6;如果三人都击中,则飞机一定被击落.求飞机被击落的概率.

解：设甲、乙、丙三人分别击中的事件为A、B、C,飞机被击落,要看几人击中,若一人击中,为事件A··

·

+

·

+

·B·

+

·

·C；若有两人击中,则为事件

·B·C+A··C,三人全击中为事件A·B·C.

]×0.2+

]×0.6+P(A·B·C)=(0.4×0.5×0.2+0.6×

所以飞机被击落的概率P=[[

0.5×0.2+0.6×0.5×0.8)×0.2+(0.4×0.5×0.2+0.4×0.8×0.5+0.6×0.5×0.8)×0.6+0.4×0.5×0.8=0.492.

答:飞机被击落的概率为0.492.

【例5】 假定人在一年365天中的任何一天出生的概率相同,某班级有50名同学,其中有两人或两人以上生日是5月1日的概率是多少?

思路分析:每个人生日在某一天是等可能的,50人相当于做了50次试验,故可以认为是n次独立重复试验问题.

解:设“一个人的生日为5月1日”为事件A.50个人的生日相当于进行了50次独立重复试验,事件发生的概率为P(A)=

.

设50人中生于5月1日的人数为X,则