内容发布更新时间 : 2024/12/22 20:28:09星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

高中数学竞赛平面几何讲座第二讲 巧添辅助妙解竞赛题

在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路. 1 挖掘隐含的辅助圆解题

有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化. 1.1 作出三角形的外接圆

例1 如图1,在△ABC中,AB＝AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点且∠BED＝2∠CED＝ ∠A.求证：BD＝2CD.

分析：关键是寻求∠BED＝2∠CED与结论的联系. 容易想到作∠BED的平分线,但因BE≠ED,故不能 直接证出BD＝2CD.若延长AD交△ABC的外接圆 于F,则可得EB＝EF,从而获取.

证明：如图1,延长AD与△ABC的外接圆相交于点F,连结CF与BF,则∠BFA＝∠BCA＝∠ABC＝∠AFC,即∠BFD＝∠CFD.故BF:CF＝BD:DC.

又∠BEF＝∠BAC,∠BFE＝∠BCA,从而∠FBE＝∠ABC＝∠ACB＝∠BFE. 故EB＝EF.

作∠BEF的平分线交BF于G,则BG＝GF. 因∠GEF＝FC.

于是,BF＝2CF.故BD＝2CD. 1.2 利用四点共圆

∠BEF＝∠CEF,∠GFE＝∠CFE,故△FEG≌△FEC.从而GF＝

例2 凸四边形ABCD中,∠ABC＝60°,∠BAD＝ ∠BCD＝90°,

AB＝2,CD＝1,对角线AC、BD交于点O,如图2.

则sin∠AOB＝____.

分析：由∠BAD＝∠BCD＝90°可知A、B、C、D

四点共圆,欲求sin∠AOB,联想到托勒密定理,只须求出BC、AD即可.

解：因∠BAD＝∠BCD＝90°,故A、B、C、D四点共圆.延长BA、CD交于P,则∠ADP＝∠ABC＝60°.

设AD＝x,有AP＝2x). 解得AD＝x＝2 由托勒密定理有 BD?CA＝(4－

)(2

x,DP＝2x.由割线定理得(2＋x)－2,BC=

BP＝4－

.

x＝2x(1＋

－2)＋2×1＝10－12.

又SABCD＝S△ABD＋S△BCD＝

. 故sin∠AOB＝

例3 已知：如图3,AB＝BC＝CA＝AD,AH ⊥CD于H,CP⊥BC,CP交AH于P.求证： △ABC的面积S＝

AP?BD.

分析：因S△ABC＝

BC2＝

AC?BC,只

须证AC?BC＝AP?BD,转化为证△APC∽△BCD.这由A、B、C、Q四点共圆易证(Q为BD与AH交点).

证明：记BD与AH交于点Q,则由AC＝AD,AH⊥CD得∠ACQ＝∠ADQ. 又AB＝AD,故∠ADQ＝∠ABQ.

从而,∠ABQ＝∠ACQ.可知A、B、C、Q四点共圆. ∵∠APC＝90°＋∠PCH＝∠BCD,∠CBQ＝∠CAQ, ∴△APC∽△BCD. ∴AC?BC＝AP?BD. 于是,S＝

2 构造相关的辅助圆解题

有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关 的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆

例4 如图4,四边形ABCD中,AB∥CD,AD＝DC ＝DB＝p,BC＝q.求对角线AC的长.

AC?BC＝

AP?BD.