内容发布更新时间 : 2025/1/31 16:58:18星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

专题05函数的单调性与最值

最新考纲

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.

基础知识融会贯通 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值

前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 (1)对于任意的x∈I，都有条件 (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论

【知识拓展】 函数单调性的常用结论

M为最大值 M为最小值

(1)对?x1，x2∈D(x1≠x2)，是减函数．

fx1－fx2fx1－fx2

>0?f(x)在D上是增函数，<0?f(x)在D上

x1－x2x1－x2

(2)对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)，减区间为[－a，0)和(0，a]． (3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．

(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．

ax

重点难点突破

【题型一】确定函数的单调性(区间) 命题点1 给出具体解析式的函数的单调性 【典型例题】

下列函数中，值域为R且在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A．y＝x+2x

2

B．y＝2

x+1

C．y＝x+1

3

D．y＝（x﹣1）|x|

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，y＝x+2x＝（x+1）﹣1，其值域为[﹣1，+∞），不符合题意； 对于B，y＝2，其值域为（0，+∞），不符合题意；

对于C，y＝x+1，值域为R且在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意； 对于D，y＝（x﹣1）|x|故选：C．

【再练一题】

，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意；

32

2

x+1

已知函数f（x）＝ln，则（ ）

A．f（x）是奇函数，且在（﹣∞，+∞）上单调递增 B．f（x）是奇函数，且在（﹣∞，+∞）上单调递减 C．f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增 D．f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减

【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ln，其定义域为R，

有f（﹣x）＝lnlnf（x），则函数f（x）为偶函数，

设t，y＝lnt，

对于t∞）上为增函数，

，则导数t′，当x＞0时，t′＞0，即函数t在区间（0，+

又由y＝lnt在区间（0，+∞）上为增函数，

则函数f（x）＝ln故选：C．

在0，+∞）上为增函数，

命题点2 解析式含参数的函数的单调性 【典型例题】

定义在R的函数f（x）＝﹣x+m与函数g（x）＝f（x）+x+x﹣kx在[﹣1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣2] C．[﹣2，2]

3

3

3

2

B．[2，+∞）

D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）

【解答】解：根据题意，函数f（x）＝﹣x+m，其定义域为R，则R上f（x）为减函数，

g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx＝x2﹣kx+m在[﹣1，1]上为减函数，

必有x1，解可得k≥2，

即k的取值范围为[2，+∞）； 故选：B．

【再练一题】 已知函数f（x）

（a＞0且a≠1）在R上单调递减，则a的取值范围是（ ）

A．[，1） B．（0，] C．[，] D．（0，]

【解答】解：由题意，分段函数是在R上单调递减，可得对数的底数需满足0＜a＜1，