内容发布更新时间 : 2024/12/27 6:30:19星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

近接触到计算Delaunay三角剖分的问题，也算是计算几何的一个经典问题了。按照别人的算

法，也自己实现了个（

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），发现点集大的时候，程序计算起来特慢。后来分析发现，别人程序号称的都是O(nlogn)的，我的却成了O(n*n)的，算法都是一样，后来才发现是数据结构的问题，看来程序＝算法＋数据结构，有道理。闲着，就整理了些相关知识，组织如下：

1.Delaunay三角剖分&Voronoi图定义 2.计算Delaunay三角剖分的算法及分析 3.例子程序&代码 大话

点集的三角剖分（Triangulation），对数值分析（比如有限元分析）以及图形学来说，都是极为重要的一项预处理技术。

尤其是Delaunay三角剖分，由于其独特性，关于点集的很多种几何图都和Delaunay三角剖分相关，如Voronoi图，EMST树，Gabriel图等。Delaunay三角剖分有几个很好的特性： 1.最大化最小角，“最接近于规则化的“的三角网。 2.唯一性（任意四点不能共圆）。

概念及定义

二维实数域(二维平面)上的三角剖分

定义1：假设V是二维实数域上的有限点集，边e是由点集中的点作为端点构成的封闭线段, E为e的集合。

那么该点集V的一个三角剖分T=(V,E)是一个平面图G，该平面图满足条件： 1.除了端点，平面图中的边不包含点集中的任何点。 2.没有相交边。

3.平面图中所有的面都是三角面，且所有三角面的合集就是点集V的凸包。

那什么是Delaunay三角剖分呢?不过是一种特殊的三角剖分罢了。从Delaunay边说起。

Delaunay边

定义2：假设E中的一条边e（两个端点为a,b），e若满足下列条件，则称之为Delaunay边： 存在一个圆经过a,b两点，圆内不含点集V中任何的点，这一特性又称空圆特性。

Delaunay三角剖分

定义3：如果点集V的一个三角剖分T只包含Delaunay边，那么该三角剖分称为Delaunay三角剖分。

我们看几个图：

由上面的图引出Delaunay三角剖分的另一种定义：

定义4：假设T为V的任一三角剖分，则T是V的一个Delaunay三角剖分，当前仅当T中的每个三角形的外接圆的内部不包含V中任何的点。

Voronoi图

定义5：V的Voronoi图是由多边形区域的集合（有些区域可能不是闭合的），该区域仅含点集中的一个点v，区域中的任何位置到v的距离都比该位置到点集中其它所有点的距离短。

由Voronoi图和Delaunay三角剖分的关系，可以引出另一个Delaunay三角剖分的定义： 定义6：将Voronoi图相邻区域（共边的区域）中的点连接起来构成的图，称为Delaunay三角剖分。 如下图：