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2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题（解析版）

2x2f(x)?(x?a)eg(x)?x?2x?a的零点个数为（ ）1．已知函数有最小值，则函数

A．0 B．1 C．2 D．取决于a的值 【答案】C

/xf(x)?eg(x)，答案C． 【解析】注意

2． 已知?ABC的三个内角A,B,C所对的边为a,b,c．下列条件中，能使得?ABC的形状唯一确定的有（ ）

A．a?1,b?2,c?Z

0A?150,asinA?csinC2asinC?bsinB B．

0cosAsinBcosC?cos(B?C)cosBsinC?0,C?60C．

D．a?3,b?1,A?60 【答案】AD．

03．已知函数f(x)?x?1,g(x)?lnx，下列说法中正确的有（ ） A．f(x),g(x)在点(1,0)处有公切线

B．存在f(x)的某条切线与g(x)的某条切线平行 C．f(x),g(x)有且只有一个交点 D．f(x),g(x)有且只有两个交点

2

【答案】BD

【解析】注意到y?x?1为函数g(x)在(1,0)处的切线，如图，因此答案BD．

2y?4x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点，M为线段AB的中点．下列4．过抛物线

说法中正确的有（ ）

A．以线段AB为直径的圆与直线B．|AB|的最小值为4 C．|AB|的最小值为2

x??32一定相离

D．以线段BM为直径的圆与y轴一定相切 【答案】AB

11(|AF|?|BF|)?|AB|2【解析】对于选项A，点M到准线x??1的距离为2，于是以线

x??32一定相离；对于选项B，C，

段AB为直径的圆与直线x??1一定相切，进而与直线

设A(4a,4a)，则

2B(1112,?)|AB|?4a??24a2a，于是4a2，最小值为4．也可将|AB|转

化为AB中点到准线的距离的2倍去得到最小值；对于选项D，显然BD中点的横坐标与

1|BM|2不一定相等，因此命题错误．

x2y2C:2?2?1(a?b?0)F,Fab5．已知12是椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上一点．下列

说法中正确的有（ ）

0?FPF?90a?2b12A．时，满足的点P有两个

0?FPF?90a?2b12B．时，满足的点P有四个

1F2的周长小于4a C．?PFa21F2的面积小于等于2 D．?PF【答案】ABCD．

【解析】对于选项A，B，椭圆中使得?F1PF2最大的点P位于短轴的两个端点；对于选项C，

?F1PF2的周长为2a?2c?4a；选项

2D，

?F1PF2的面积为

11?|PF121|?|PF2|?|PF|?|PF|sin?FPF??a??121222?22?．

6．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：

甲：两名获奖者在乙、丙、丁中； 乙：我没有获奖，丙获奖了； 丙：甲、丁中有且只有一个获奖； 丁：乙说得对．

已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ） A．甲 【答案】BD

【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD．

7．已知AB为圆O的一条弦（非直径），OC?AB于C，P为圆O上任意一点，直线PA与直线OC相交于点M，直线PB与直线OC相交于点N．以下说法正确的有（ ） A．O,M,B,P四点共圆 C．A,O,P,N四点共圆

B．A,M,B,N四点共圆 D．以上三个说法均不对

B．乙

C．丙

D．丁