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5-5-3.同余问题

教学目标

1. 学习同余的性质

2. 利用整除性质判别余数

知识点拨

同余定理

1、定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。 2、重要性质及推论：

（1）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除

例如：17与11除以3的余数都是2，所以能被3整除． （17?11）（2）用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 3、余数判别法

当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余．由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数．

⑴ 整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数； ⑵ 整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数； ⑶ 整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数； ⑷ 整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；

⑸ 整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）；

⑹ 整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．

例题精讲

模块一、两个数的同余问题

【例 1】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.

【例 2】 某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数

是______.

1

【例 3】 有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？

【例 4】 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除

220后所得的余数，则这个自然数是多少？

【例 5】 两位自然数ab与ba除以7都余1，并且a?b，求ab?ba．

【例 6】 现有糖果254粒,饼干210块和桔子186个.某幼儿园大班人数超过40.每人分得一样多的糖果,

一样多的饼干,也分得一样多的桔子。余下的糖果、饼干和桔子的数量的比是：1：3：2，这个大班有_____名小朋友，每人分得糖果_____粒，饼干_____块，桔子_____个。

模块二、三个数的同余问题

【例 7】 有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.

【巩固】 有一个整数，除300、262、205得到相同的余数。问这个整数是几?

【巩固】 在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．

【巩固】 140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。2002除以这个自然数的余数

是 .

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【巩固】 三个数：23，51，72，各除以大于1的同一个自然数，得到同一个余数，则这个

除数是 。

【例 8】 学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个

班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？

【例 9】 若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，

除数和余数的和为_______．

【例 10】 一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为a，a?2，a?5，则这个

自然数是多少？

【巩固】 有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,

则这个自然数是_____. 【例 11】 一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a?5、2a、a，求这个自然数和

a的值.

【例 12】 甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，

A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少？

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