内容发布更新时间 : 2024/11/20 22:31:31星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
勾股定理（基础）
【学习目标】
1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．
2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题． 3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题． 【要点梳理】
【高清课堂 勾股定理 知识要点】 要点一、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为
a，b，斜边长为c，那么a2?b2?c2.
要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线
段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：
a2?c2?b2，b2?c2?a2， c2??a?b??2ab.
要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中
，所以
.
2
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中
，所以
.
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
1
要点三、勾股定理的作用
1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题；
3. 利用勾股定理，作出长为【典型例题】
类型一、勾股定理的直接应用
的线段.
，所以.
1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c． （1）若a＝5，b＝12，求c； （2）若c＝26，b＝24，求a．
【思路点拨】利用勾股定理a?b?c来求未知边长． 【答案与解析】
解：（1）因为△ABC中，∠C＝90°，a?b?c，a＝5，b＝12，
所以c?a?b?5?12?25?144?169．所以c＝13． （2）因为△ABC中，∠C＝90°，a?b?c，c＝26，b＝24， 所以a?c?b?26?24?676?576?100．所以a＝10．
【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式． 举一反三：
【变式】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
（1）已知b＝2，c＝3，求a；
（2）已知a:c?3:5，b＝32，求a、c． 【答案】 解：（1）∵ ∠C＝90°，b＝2，c＝3，
∴ a?c2?b2?32?22?5； （2）设a?3k，c?5k．
∵ ∠C＝90°，b＝32，
∴ a?b?c． 即(3k)?32?(5k)．
解得k＝8．
∴ a?3k?3?8?24，c?5k?5?8?40．
类型二、勾股定理的证明
2222222222222222222222222
2
2、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N， 试说明AN?BN?AC．
222
【答案与解析】
解：因为MN⊥AB，所以AN?MN?AM，BN?MN?MB，
所以AN?BN?AM?BM． 因为AM是中线，所以MC＝MB．
又因为∠C＝90°，所以在Rt△AMC中，AM?MC?AC， 所以AN?BN?AC．
【总结升华】证明带有平方的问题，主要思想是找到直角三角形，利用勾股定理进行转化．若没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再用勾股定理证明． 类型三、利用勾股定理作长度为n的线段
3、作长为
、
、
的线段.
，直角边为
2222222222222222【思路点拨】由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于
和1的直角三角形斜边长就是【答案与解析】 作法：如图所示
，类似地可作
.
（1）作直角边为1（单位长度）的等腰直角△ACB，使AB为斜边；
（2）作以AB为一条直角边，另一直角边为1的Rt（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形
的长度就是
、
、
、
.
，斜边为
、
； 、
、
，这样斜边
【总结升华】（1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；（2）取单位长度时可自定，一
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