内容发布更新时间 : 2024/12/23 23:43:11星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

则x*至少有n位有效数字。

4 数值计算中误差的传播

1) 四则运算中误差的传播

,

2) 基本运算(对函数)中的误差估计

e(f(x*)) = f(x) - f(x*),

误差限记作ε(f(x*))，如果f(x)是可微的, 则：

若f′(x*)与f″(x*)的比值不大, 可忽略ε(x*) 的高阶项, ε(f(x*))≈|f′(x*)|ε(x*)

和

e(f(x*))≈f′(x* )e(x*) 相对误差为

习 题 一

1. 按四舍五入原则，求下列各数的具有四位有效数字的近似值： 168.957, 3.00045, 73.2250, 0.00152632 解

169.0, 3.000, 73.23, 0.001526

2. 设下列各数均未经过四舍五入后的道的近似值，试求各数的绝对误差限和相对误差限。

a=3580, b=0.00476, c=2958×10-2, d=0.1430×10-2 解

a= 3580 = 0.3580×104,

绝对误差限: 104-4=0.5, 相对误差限 b= 0.00476 = 0.476×10-2

10-4

绝对误差限: 10-2-3= 0.5×10-5, 相对误差限 c=2958×10-2= 0.2958×102

10-3+1=0.00125

绝对误差限: 102-4= 0.5×10-2, 相对误差限10-4+1=0.00025

d=0.1430×10-2

绝对误差限: 10-2-4=0.5×10-6, 相对误差限

10-4+1=0.0005

3. 已知a=1.2031,b=0.978是经过四舍五入后得到的近似值，问a+b,a×b有几位有效数字。 解

e(a+b)=e(a)+e(b)<0.00005+0.0005=0.00055 2有效数字 e(a×b)=e(a)b+ae(b)=0.00005×0.978+1.2031×0.0005 ≈0.000049+0.0006=0.00064 2 有效数字 4. 设 x>0, x的相对误差为δ, 求lnx的绝对误差。 解

e (lnx) = e(x) = er(x) = δ. 5. 求解

的近似值x*, 使其相对误差不超过0.1%。

6. 要使解

≈ 1.414 = 0.1414×101

的近似值小于0.1%的相对误差，要取几位有效数字。

≈ 4.472

只要 er(x*)<0.008

7. 正方形的边长约100cm,问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过1cm2? 解

e(x2)* = 2x*e(x*)<1, e(x*)<1/200=0.005

8. 计算球体的体积，为使其相对误差限为1%，设测量半径R, 相对误差最大为多少？ 解

9. 设s=gt , 假定g是准确的，而对t的测量有±0.1秒的误差，试证当t增大时，s的绝对误差增大而相对误差却减少。 解

10. 已知

≈12.961有五位有效数字，试求方程x2- 26x + 1 = 0的

两个根及它们的误差限和相对误差限。 解

x1,2= 13±

x1=13+

≈13+12.961=25.961=0.259612

e(x1)<×102-5=×10-3 , er(x1)<

x2=13-

=1/(13+

10-5+1= 10-4

)≈0.038519=0.38519×10-1

e(x1)<×10-1-5=×10-6 , er(x1)<

11. 已知

10-5+1= 10-4

≈27.983有五位有效数字，试求方程x2- 66x + 1 = 0的

两个根, 使它们至少有四位有效数字。 解

x1,2= 28±

x1=28+≈28+27.983=55.983

x2=28-

=1/(28+)≈0.01786=0.1786×10-1

12. 设求证：

1) In= 1 -nIn-1 (n=0,1,2,…)

2) 利用(1)中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减少。 解