内容发布更新时间 : 2024/6/23 11:44:56星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

向量组的线性相关性

（杨威 郭乔） ● 教学目的与要求

通过学习，使学生理解向量组的线性相关、线性无关概念，掌握判定向量组线性相关性

的方法。

●教学重点与难点

教学重点：线性相关，线性无关的概念 教学难点：线性相关性的判定

●教学方法与建议

先从简单的例子出发，使学生看到在解线性方程组的时候，有的方程是多余的，从向量

的角度来看，就是其中的一些向量是其余向量的线性组合。从而引出线性相关、线性无关的概念，并给出判别方法。

● 教学过程设计

1. 问题的提出

?x?2y?z?0?1???? 方程组?2x?3y?z?0用向量的形式表示出来x?2???4x?y?z?0?4????T?2???1??0???????y??3??z?1???0?， ?1???1??0???????T不难看出，其中第3个方程是多余的，我们从向量的角度来讨论这个问题。

此方程组对应着三个向量?1?(1,2,4)，?2?(2,?3,1),?3?(?1,1,?1)T，所谓的第三个方程是多余方程反映到他们对应的向量上就是?3???1?173?1或7即?3可由?1和?2线性运算得到，此时称?3是?1,?2的线性组合。 ?1?3?2?7?3?0，

2. 线性相关和线性无关

定义4.1 对于向量?1,?2,...,?m,?,如果有数k1,k2,...,km使

??k1?1?k2?2???km?m，则称向量?是向量?1,?2,...,?m的线性组合，或?可由

向量?1,?2,...,?m线性表示。

定义4.2 设有n维向量?1,?2,...,?m，如果存在不全为零的数k1,k2,...,km,使 k1?1?k2?2???km?m?0 则称此向量?1,?2,...,?m线性相关的，否则称为线性无关。

注意：1.若向量组中含有零向量，则向量组一定是线性相关的。

2.若向量组中一个向量可由其他向量线性表示，则这组向量一定是线性相关的。

定理 4.1 n维向量组?1,?2,...,?m线性相关的充分必要条件是R(A)?m，其中A是由?1,?2,...,?m组成的(m?n)（或n?m）维矩阵。

证明：设?i,i?1,2,...,m，为n维列向量，下面证明有m个不全为零的数x1,x2,...,xm使x1?1?x2?2???xm?m?0的充分必要条件是R(A)?m。

??x1?1?x2?2???xm?m?0 即Ax?0有非零解的充分必要条件是R(A)?m。

推论 对m个n维向量，若m?n，则该向量组线性相关。

证明：由这些向量组成的矩阵记为A，则A是m?n(或n?m)维的，由于m?n，所以 R(A)?min(m,n)?n?m，则该向量组线性相关。

定理4.4 若?1,?2,...,?r线性相关，则?1,?2,...,?r,?r?1,...,?m也线性相关。 证：因?1,?2,...,?r线性相关，所以存在不全为零的数k1,k2,...,kr使

k1?1?k2?2???kr?r?0，从而存在不全为零的m个数k1,k2,...,kr,0,...,0使

k1?1?k2?2???kr?r?0?r?1??0?m?0，因此?1,?2,...,?r,?r?1,...,?m线性相关。

由于一个零向量是线性相关的，所以任何含有零向量的向量组都线性相关。 推论 若?1,?2,...,?r线性无关，则由其中的部分向量构成的向量组线性无关。 定理4.3 设?i?(ai1,ai2,...,air)，?i?(ai1,ai2,...,air,air?1)(i?1,2,...,m)若r维向量组?1,?2,...,?m线性无关，则r?1维向量组?1,...,?m线性无关。

证： 显然?i?(?i,ai?1),i?1,2,...,m，设有m个数k1,k2,...,km，使

即(k1?1???km?m,k1a1,r?1???kmam,r?1)?0。因此k1?1?k2?2???km?m?0，

有k1?1???km?m?0。由于?1,?2,...,?m线性无关，所以当且仅当

k1?k2???km?0时才成立。这就表明?1,...,?m线性无关。

推论：r维向量组的每个向量加上n?r个分量成为n维向量。若r维向量组线性无关，

则n维向量组线性无关。

3. 举例

例4.1 讨论向量组?1?(1,1,1)，?2?(0,2,5)，?3?(1,3,6)T的线性相关性。

TT 解： 以所给向量为列组成矩阵A

?101?r?r?101??101?215?????? A?123?022r3?r2022

??r3?r1???2????156????055???000??因R(A)?2?3(向量个数)，所以所给向量组线性相关。

例4.2 讨论n维单位坐标向量e1,...,en的线性相关性。

解： 因为R(A)?R(e1,e2,...,en)?n，所以向量组线性无关。

例4.3 设?1,?2,?3线性无关，试证?1??1??2,?2??2??3，?3??3??1线性无关。

证： 不妨设?1,?2,?3均为列向量，则

?101??? (?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)110?(?1,?2,?3)C ????011??因为矩阵C可逆，所以C可表示为有限个初等矩阵的乘积，即矩阵(?1,?2,?3)可认为由矩阵(?1,?2,?3)经有限次初等列变换得到，从而矩阵(?1,?2,?3)的秩等于矩阵(?1,?2,?3)的秩，而(?1,?2,?3)的秩为3，所以(?1,?2,?3)的秩为3，因此(?1,?2,?3)线性无关。

例4.4 设?1,?2,...,?r线性无关，若?1,?2,...,?r,?线性相关，则?可由?1,?2,...,?r线性表示。

证： 因?1,?2,...,?r,?线性相关，故有不全为零的数k1,k2,...,kr,使得

k1?1?k2?2???kr?r?k??0。要证?可由?1,?2,...,?r线性表示，只需证k?0。

用反证法，设k?0，则k1,k2,...,kr不全为零且能使k1?1?k2?2???kr?r?0，这与?1,?2,...,?r线性无关矛盾，矛盾表明k?0，即?可由?1,?2,...,?r表示为

???1(k1?1?k2?2???kr?r) k例4.5 讨论向量组?1?(1,0,0,2,3),?2?(0,1,0,4,6),?3?(0,0,1,2,2)的线性相关性。 解：因为向量?1,?2,?3分别是由e1?(1,0,0),e2?(0,1,0),e3?(0,0,1)加上两个分量得到的，而e1,e2,e3线性无关，所以根据上面的结论知?1,?2,?3线性无关。