内容发布更新时间 : 2024/12/26 11:06:58星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

课题：椭圆

教学目标：

（1）了解圆锥曲线的来历； （2）理解椭圆的定义；

（3）理解椭圆的两种标准方程； （4）掌握椭圆离心率的计算方法； （5）掌握有关椭圆的参数取值范围的问题；

教学重点：椭圆方程、离心率；

教学难点：与椭圆有关的参数取值问题；

?知识清单

一、椭圆的定义：

(1) 椭圆的第一定义:平面内与两定点F1、F2的距离和等于常数

?2a?(大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆. 说明：两个定点叫做椭圆的焦点；

两焦点间的距离叫做椭圆的焦距?2c?.

(2) 椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之

比为常数e，当0?e?1时，点的轨迹是椭圆. 椭圆上一点到 焦点的距离可以转化为到准线的距离.

二、椭圆的数学表达式：

PF1?PF2?2a?2a?F1F2?0?;

M?PPF1?PF2?2a,?2a?F1F2?0?.

??三、椭圆的标准方程：

x2y2焦点在x轴: 2?2?1?a?b?0?；

aby2x2焦点在y轴: 2?2?1?a?b?0?.

ab说明：a是长半轴长，b是短半轴长，焦点始终在长轴所在的数轴上，

且满足a2?b2?c2.

四、二元二次方程表示椭圆的充要条件

方程Ax2?By2?C?A、B、C均不为零，且A?B?表示椭圆的条件：

x2y2Ax2By2?1.所以，只有A、B、C同号，??1，?上式化为

CCCCAB且A?B时，方程表示椭圆；当当

CC?时，椭圆的焦点在x轴上；ABCC?时，椭圆的焦点在y轴上. ABx2y2五、椭圆的几何性质（以2?2?1?a?b?0?为例）

ab1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标?x,y?都适合不等式

x2y2?1,2?1，即x?a,y?b说明椭圆位于直线x??a和y??b所围a2b成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.

2.对称性:关于原点、x轴、y轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。

3.顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：

A1??a,0?、A2?a,0?、B1?0,?b?、B2?0,b?.

B1B2 4. 长轴、短轴：A1A2叫椭圆的长轴，A1A2?2a,a是长半轴长；

叫椭圆的短轴，B1B2?2b,b是短半轴长. 5.离心率

（1）椭圆焦距与长轴的比e?，??a?c?0,?0?e?1?（2）

Rt?OB2F2,B2F2?OB2?OF2，即a2?b2?c2.这是椭圆

222ca的特征三角形，并且cos?OF2B2的值是椭圆的离心率.（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e接近于1时，c越接近于a，从而

b?a2?c2越小，椭圆越扁；当e接近于0时，c越接

近于0，从而b?a2?c2越大，椭圆越接近圆；当e?0时，c?0,a?b，两焦点重合，图形是圆.

2b26.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），通径长为.

a7.设F1、F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，当P、F1、F2三点不在同一直线上时，P、F1、F2构成了一个三角形——焦点三角形. 依椭圆的定义知：PF1?PF2?2a,F1F2?2c.

?例题选讲?

一、选择题

1．椭圆x2?4y2?1的离心率为（ ）

3232 B． C． D．

4322x2y22．设p是椭圆??1上的点．若F1，F2是椭圆的两个焦点，

2516则PF1?PF2等于（ ）

A．

A． 4 B．5 C． 8 D．10

x2y213．若焦点在x轴上的椭圆??1的离心率为，

22m则m=（ ）

A．3

B．

32C．

83D．

234．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭

3

圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ ）

A．23 B．6 C．43 D．12

x2