内容发布更新时间 : 2025/1/16 6:45:00星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

一、填空题

1. 若An=[n,??)?n?1,2,...?，则limAnn???__________.

2. 设集合B?A，则Bc3. 若E?{(x,y)??2Ac.?填符号?,?,??

x2?y2?1},则E的边界集?E为_____________.

4. 离散集的Lebesgue测度为___________.

?x,x?C,f(x)?[0,1]C5. 设为上的Cantor集，计算?f(x)dx?___. ?[0,1]?0,x?[0,1]?C,二、单项选择题

1.下列说法正确的是 __________. A．自然数集与无理数集对等； B．任何无穷集都有一个可数子集； C．与实数集对等的集合为可数集； D．无理数集与有理数集对等.

2.下列关于[0,1]上狄利克雷函数D(x)的说法错误的是 __________. A．D(x)是黎曼可积的；B．D(x)的Lebesgue积分为0； C．D(x)是一个可测函数；D．D(x)=0a.e.[0,1]. 3.下列说法错误的是 __________. A．若A?B，则m?A?m?B；

B．若Si?i?1,2,3,...?均为Lebesgue可测集，则?Si为Lebesgue可测集；

i?1?C．设E??n，若E为Lebesgue可测集，则E的余集EC也是Lebesgue可测集； D．设E??n，如果m?E?0，则E为Lebesgue可数集.

4. 若?fn?x??在E上依测度收敛于f?x?，则下面说法正确的是（ ）。

A. 对任意??0，存在可测集E??E,满足m(E?E?)??，使得fn(x)在E?上一

致收敛到f?x?;

B.fn(x)在E上逐点收敛到f?x?;

C. 存在fn(x)的子序列fnk(x)几乎处处收敛到f?x?; D. 以上说法都不对.

5. 下述命题中不成立的是__________________.

A. Lebesgue可积函数几乎处处有限；

B. 若f(x)是E上的有界函数，则f(x)在E上Lebesgue可积；

C. 两个可积的可测函数几乎处处相等，则它们的Lebesgue积分相等； D. 设f(x)是E上的Lebesgue可测函数，则f(x)为E上的Lebesgue可积函 数当且仅当正部f?和负部f?都是E上的Lebesgue可积函数.

三、判断题，对的打“√”，错误的打“×”

1.可数个可数集的并还是可数集. （ ） 2. 任意一簇闭集之交仍为闭集. （ ）

3.f是E上的Lebesgue可测函数，则f是E上的Lebesgue可测函数. 4.零测集上的可测函数Lebesgue积分为0. （ ） 5.有界变差函数满足牛顿—莱布尼兹公式. （ ）

四、叙述题

请写出叶戈罗夫定理，并举例说明条件mE??不能改为mE??.

五、证明题

对两个集合A和B，证明下列结论是等价的：

?1?A?B；?2?A?B?B；?3?A?B?A.

六、证明题

如果一个复数是一个非零整系数多项式的根，则称之为一个代数数.证明所有代数数构成的集合是可数集

七、证明题

利用Lebesgue积分的绝对连续性证明：

设f?x?是有界可测集E上的可积函数，E??Ek，其中Ek?k?1,2,??为可测集

k?1?且两两不相交，则

?f?x?dx???Ek?1?Ekf?x?dx.

八、计算题

nxedx?0，?a?0?. 计算limn???[a,?)1?x22?n2x2