内容发布更新时间 : 2024/4/19 11:18:20星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第3讲 利用导数研究函数的最(极)值
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题 1．下列函数：
23－x①y＝x；②y＝ln(－x)；③y＝xe；④y＝x＋.
x其中，既是奇函数又存在极值的是________(填序号)．
解析 由题意可知，②，③中的函数不是奇函数，①中，函数y＝x单调递增(无极值)，④中的函数既为奇函数又存在极值． 答案 ④
2．(2017·海门中学适应性训练)已知函数f(x)＝x＋ax＋3x－9，若x＝－3是函数f(x)
的一个极值点，则实数a＝________. 解析 f′(x)＝3x＋2ax＋3. 依题意知，－3是方程f′(x)＝0的根 所以3×(－3)＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5. 经检验，a＝5时，f(x)在x＝－3处取得极值． 答案 5
??x－3x，x≤0，3．(2016·北京卷改编)设函数f(x)＝?
??－2x，x>0，
3
2
2
3
2
3
则f(x)的最大值为________．
解析 当x>0时，f(x)＝－2x<0；
当x≤0时，f′(x)＝3x－3＝3(x－1)(x＋1)，当x<－1时，f′(x)>0，f(x)是增函数，当－1 1 2 ∴f(x)≤f(－1)＝2，∴f(x)的最大值为2. 答案 2 4．(2017·南通调研)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x－ax－2bx＋2在x＝1处有极值，若t＝ab，则t的最大值为________． 解析 f′(x)＝12x－2ax－2b，则f′(1)＝12－2a－2b＝0，则a＋b＝6， 又a>0，b>0，则t＝ab≤?答案 9 2 3 2 ?a＋b?2＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号． ??2? ?1?5．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax?a>?，当x∈(－2,0)时，f(x)?2? 的最小值为1，则a＝________. 解析 由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1. 11 令f′(x)＝－a＝0，得x＝， xa11 当0 aa?1?∴f(x)max＝f??＝－ln a－1＝－1，解得a＝1. ?a? 答案 1 6．已知函数f(x)＝x＋ax＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是 ________． 解析 ∵f′(x)＝3x＋2ax＋(a＋6)， 由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝4a－4×3×(a＋6)>0，即a－3a－18>0， ∴a>6或a<－3. 答案 (－∞，－3)∪(6，＋∞) 7．设函数f(x)＝ax＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)e的一个极值点，则下 列图象不可能为y＝f(x)图象的是________(填序号)． 2 2 2 2 3 2 x 2 解析 因为[f(x)e]′＝f′(x)e＋f(x)(e)′＝[f(x)＋f′(x)]e，且x＝－1为函数f(x)e的一个极值点，所以f(－1)＋f′(－1)＝0；④中，f(－1)＞0， xxxxxf′(－1)＞0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0. 答案 ④ 8．设a∈R，若函数y＝e＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________． 解析 ∵y＝e＋ax，∴y′＝e＋a. ∵函数y＝e＋ax有大于零的极值点， 则方程y′＝e＋a＝0有大于零的解， ∵x>0时，－e<－1，∴a＝－e<－1. 答案 (－∞，－1) 二、解答题 9．(2015·安徽卷)已知函数f(x)＝ xxxxxxxaxx＋r2 (a>0，r>0)． (1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性； (2)若＝400，求f(x)在(0，＋∞)内的极值． 解 (1)由题意可知x≠－r，所求的定义域为(－∞，－r)∪(－r，＋∞)． arf(x)＝ axx＋r2 ＝ ax， x＋2rx＋r2 2 ax2＋2rx＋r2－ax2x＋2rar－xx＋rf′(x)＝＝. 222 x＋2rx＋rx＋r4 所以当x<－r或x>r时，f′(x)<0； 当－r 因此，f(x)的单调递减区间为(－∞，－r)，(r，＋∞)； 3