内容发布更新时间 : 2024/9/21 3:20:59星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第1讲 等差数列与等比数列
(限时:45分钟)
【选题明细表】
知识点、方法 等差数列、等比数列的基本运算 等差数列、等比数列的性质 等差数列、等比数列的证明 等差数列、等比数列的综合 题号 1,2,3,4,5,7,8 9,10 11,12 6,11,12 一、选择题 1.(2018·吉林省百校联盟联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若2a11=a9+7,则S25等于( D )
(A) (B)145 (C) (D)175
解析:由题意可得2a11=a9+a13,所以a13=7,所以S25=选D.
×25=×25=25a13=25×7=175.
2.(2018·天津南开中学模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则于( D )
n-1n
(A)4 (B)4-1
n-1n
(C)2 (D)2-1
解析:设等比数列{an}的公比为q,
等
所以q==,
所以a1+a3=a1(1+q)=a1(1+)=,
2
解得a1=2,an=2×()=(),
n-1n-2
Sn==4(1-),
1
所以==2-1.故选D.
n
3.(2018·淄博二模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2,2a5,3a8成等差数列,则等于( A )
(A)或 (B)或3 (C) (D)或
解析:设等比数列{an}的公比为q, 由题意得4a5=a2+3a8,
47
即4a1q=a1q+3a1q,
63
可得3q-4q+1=0,
解得q=1或q=,
33
所以=或=.
故选A.
4.(2018·辽宁大连八中模拟)若记等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,S3=6,则S4等于( C )
(A)10或8 (B)-10
(C)-10或8 (D)-10或-8
解析:由等比数列求和公式,当q≠1时得
S3=
2
==6,
所以q+q-2=0,
所以q=-2或q=1(舍去),
当q=-2时,S4==-10,
当q=1时,S4=4a1=8.故选C.
5.(2018·云南玉溪高三适应性训练)程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠.次第每人多十七,要将第八数来言.务要分明依次弟,孝和休惹外人传.”意为:996斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从第一个开始,以后每人依次多17斤,直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明,使孝顺子女的美德外传,则第八个孩子分得斤数为( B ) (A)65斤 (B)184斤 (C)183斤 (D)176斤
解析:由题意可得,8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列,且前8项和为996,
2
设首项为a1,结合等差数列前n项和公式有
S8=8a1+d=8a1+28×17=996.
解得a1=65,则a8=a1+7d=65+7×17=184(斤). 即第八个孩子分得斤数为184斤.故选B.
6.(2018·安徽江南十校二模)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,且
=d
,则S2 018等于( B ) (B)1 009
=d=d(-d, -), , ,
(C)2 017
(D)2 018
=a2
+a2 017
(A)0
解析:因为所以即又所以
-
=(1+d)=a2
+a2 017
所以
所以S2 018==1 009(1+1+2 017d)=1 009.故选B.
7.(2018·百校联盟联考)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是“现有一根金杖,长5尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤.问依次每一尺各重多少斤?”设该金杖由粗到细是均匀变化的,其重量为M,现将该金杖截成长度相等的10段,记第i段的重量为ai(i=1,2,…,10),且a1 解析:由题意知,由细到粗每段的重量成等差数列, 记为{an},设公差为d,则 解得a1=,d=, 所以该金杖的总重量M=10×因为48aj=5M, +×=15, 3 所以48[+(j-1)×]=75, 即39+6j=75,解得j=6. 二、填空题 n 8.(2018·陕西西工大附中八模)若等比数列{an}的前n项和Sn=3+a,则a的值为 . n 解析:因为Sn=3+a, 所以a1=S1=3+a, a2=S2-S1=(9+a)-(3+a)=6, a3=S3-S2=(27+a)-(9+a)=18, 因为=,所以a=-1. 答案:-1 9.(2018·通州区三模)等差数列{an}满足a1=1,a3=5,若a2,a5,am成等比数列,则m= . 解析:等差数列{an}满足a1=1,a3=5, 所以d==2,a2=3,可得a5=9, 2 由a2,a5,am成等比数列,可得9=3·am, 所以am=27,27=1+(m-1)×2,解得m=14. 答案:14 10.(2018·福建厦门二检)已知数列{an}满足a1=1,a2=3,|an-an-1|=n(n∈N,n≥3),{a2n-1}是递增数列,{a2n}是递减数列,则a2 018= . 解析:因为{a2n-1}是递增数列, 所以a2n+1-a2n-1>0, 所以(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)>0, 因为2n+1>2n, 所以|a2n+1-a2n|>|a2n-a2n-1|, 所以a2n+1-a2n>0(n≥2), 又a3-a1=5>0, 所以a2n+1-a2n>0(n≥1)成立, 由{a2n}是递减数列, 所以a2n+2-a2n<0,同理可得a2n+2-a2n+1<0(n≥1), 所以 所以a2n+2-a2n=-1, 所以{a2n}是首项为3,公差为-1的等差数列. 故a2 018=3+(1 009-1)×(-1)=-1 005. 答案:-1 005 三、解答题 * 11.(2018·安徽马鞍山一检)已知数列{an}的首项为a1=1,且(an+1)·an+1=an,n∈N. 4