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课下层级训练(十八) 三角函数的图象与性质
[A级 基础强化训练]
1.(2019·黑龙江哈尔滨检测)函数y=|tan(2x+φ)|的最小正周期是( ) A.2π π
C.
2
π
C [结合图象及周期公式知T=.]
22.下列函数中,最小正周期是π且在区间?A.y=sin 2x C.y=tan
2
B.π πD.
4
?π,π?上是增函数的是( )
?
?2?
B.y=sin x D.y=cos 2x
x?π?D [y=sin 2x在区间?,π?上的单调性是先减后增;y=sin x的最小正周期是T=
?2?
2πxπ
=2π;y=tan 的最小正周期是T==2π;y=cos 2x满足条件. ] ω2ωπ???π?3.函数f(x)=sin?2x-?在区间?0,?上的最小值为( )
4?2???A.-1
2
2
B.-
2 2
C.D.0
π?π3π??π?B [由已知x∈?0,?,得2x-∈?-,?,
2?4?4?4?π??2??所以sin?2x-?∈?-,1?, 4??2??
π?2??π?故函数f(x)=sin?2x-?在区间?0,?上的最小值为-.]
4?2?2??4.(2019·陕西榆林质检)若函数f(x)=sin ( )
π
A. 23πC. 2
C [由f(x)=sin
2πB.
35πD.
3
x+φ3
(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ=
x+φ3φπ3π
是偶函数,可得=kπ+,k∈Z,即φ=3kπ+(k∈Z),
322
1
又φ∈[0,2π],所以φ=
3π.] 2
π??5.已知函数f(x)=2sin(2x+φ)?|φ|
?π?A.?-,0?
?3??π?C.?,0? ?6?
?π?B.?-,0?
?6??π?D.?,0? ?12?
π??B [函数f(x)=2sin(2x+φ)?|φ|
3ππ
,又|φ|<,∴φ=, 223
π?π?则f(x)=2sin?2x+?,令2x+=kπ(k∈Z),
3?3?则x=
kππ
π
-(k∈Z),当k=0时,x=-, 266
?π?∴?-,0?是函数f(x)的图象的一个对称中心.] ?6?
6.函数f(x)=sin(-2x)的单调增区间是__________.
?kπ+π, kπ+3π?(k∈Z) [由f(x)=sin(-2x)=-sin 2x,2kπ+π≤2x≤2kπ?44?2??
3ππ3π
+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).] 244
π??2
7.(2019·福建福州质检)函数y=cosx+sin x?|x|≤?的最小值为__________.
4??1-2π22??
[令t=sin x,∵|x|≤,∴t∈?-,?. 242??2
?1?252
∴y=-t+t+1=-?t-?+,
?2?4
∴当t=-
21-2时,ymin=.] 22
π??8.(2019·辽宁抚顺月考)若函数f(x)=3cos?ωx-?(1<ω<14)的图象关于直线x=
4??π
对称,则ω=__________. 12
π?πππ?3 [∵f(x)=3cos?ωx-?(1<ω<14)的图象关于直线x=对称,∴ω-=kπ,4?12124?
k∈Z,即ω=12k+3,k∈Z.∵1<ω<14,∴ω=3.]
2
π?π??2?9.(2019·山西晋中联考)设函数f(x)=cos?2x-?+2sin?x+?. 3?2???(1)求f(x)的最小正周期和对称轴方程;
?ππ?(2)当x∈?-, ?时,求f(x)的值域.
4??3
13
解 (1)f(x)=cos 2x+sin 2x+1-cos(2x+π)
22π?33?=cos 2x+sin 2x+1=3sin?2x+?+1,
3?22?所以f(x)的最小正周期T=π. ππ
由2x+=kπ+,k∈Z,
32得对称轴方程为x=
kππ
2
+,k∈Z.
12
ππππ5π
(2)因为-≤x≤,所以-≤2x+≤,
34336
?1?所以f(x)的值域为?-,3+1?.
?2?
[B级 能力提升训练]
π
10.函数y=3cos(x+φ)+2的图象关于直线x=对称,则|φ|的最小值是( )
4πA. 4πC. 6
πB.
3πD.
2
πππ
A [由题意可知,+φ=kπ,k∈Z,故φ=kπ-,k∈Z.当k=0时,φ=-,
444π
此时|φ|=为最小值 .]
4
?ππ?11.(2019·广东广州质检)已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间?-,?上的最?34?
小值是-2,则ω的最小值等于( )
2A. 3C.2
3B. 2D.3
ππωπωπ
B [∵ω>0,-≤x≤,∴-≤ωx≤. 3434由已知条件知-
ωπ
πωπ3π33
≤-或≥,∴ω≥.∴ω的最小值为.] 324222
3
?ππ?12.设函数f(x)=3sin?x+?,若存在这样的实数x1,x2,对任意的x∈R,都有
4??2
f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为__________.
2 [f(x)=3sin?
?πx+π?的周期T=2π×2=4,
4?π?2?
Tf(x1),f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值,
故|x1-x2|的最小值为=2.] 2
13.已知函数f(x)=cos xsin x(x∈R),给出下列四个命题: ①若f(x1)=-f(x2),则x1=-x2; ②f(x)的最小正周期是2π;
?ππ?③f(x)在区间?-,?上是增函数; ?44?
④f(x)的图象关于直线x=
3π
对称. 4
其中真命题的是__________.
1π
③④ [ f(x)=sin 2x,当x1=0,x2=时,f(x1)=-f(x2),但x1≠-x2,故①是
22ππ?ππ???-, -, ?,假命题;f(x)的最小正周期为π,故②是假命题;当x∈?时,2x∈?4?2??4??2故③是真命题;因为f?是真命题.]
2π??14.(2019·黑龙江大庆月考)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)?0<φ
3??为π.
(1)当f(x)为偶函数时,求φ的值;
3??π
(2)若f(x)的图象过点?, ?,求f(x)的单调递增区间.
2??62π
解 ∵f(x)的最小正周期为π,即T==π,∴ω=2,
?3π?=1sin 3π=-1,故f(x)的图象关于直线x=3π对称,故④
?224?4?2
ω∴f(x)=sin(2x+φ).
π
(1)当f(x)为偶函数时,有φ=+kπ,k∈Z,
22ππ
∵0<φ<,∴φ=.
32
4