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含双平方根式无理函数的最值（值域）问题

作者：何春良

来源：《理科考试研究·高中》2017年第03期

摘 要：本文笔者对含双平方根式无理函数的最值（值域）问题的常规求解进行了探究，方法多样，但要灵活运用，值得广大读者学习与参考. 关键词：双平方根式；无理函数；最值问题

形如y=af（x）+bg（x）+c的函数叫作含双平方根式的无理函数，这类无理函数的最值（值域）问题是高三理科数学复习中的一个难点内容，也是近几年高考命题的热点内容.由于这类问题的求解涉及函数、几何、三角、向量以及不等式等数学知识，具有较强的综合性，若学生没有掌握比较系统的数学知识，解决这类问题是有一定困难的.为此，笔者对这类问题的求解方法进行了总结与归纳，现将几种常规方法一一介绍. 一、单调性法

例1 求函数y=3x2-1-4-3x2的值域.

解 易求函数的定义域为[-233，-1]∪[1，233]且为偶函数，所以

当x∈[1，233]时，函数y=3x2-1-4-3x2单调递增.则当x=1时，ymin=-1； 当x=233时，ymax=3.故该函数的值域为y∈[-1，3]. 二、求导法

例2 求函数y=5x-1+10-x-226的值域.

解 易知函数的定义域为[1，10]，当x=1时，y=3-226；当x=10时，y=15-226.当x∈（1，10）时，y′=12（5x-1-110-x），且导函数y′在（1，10）上单调递减.令y′=0，得x=25126.所以当x∈（1，25126）时，y′>0；当x∈（25126，10）时，y′ y∈[3-226，26]. 三、整体代换法

例3 求函数y=2x2+8x2+1+412-x2-4x2的值域.