内容发布更新时间 : 2024/12/23 23:30:14星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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专题04 巧妙构造函数应用导数证明不等式问题

一．方法综述

利用导数证明不等式是近几年高考命题的一种热点题型．利用导数证明不等式，关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数，然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域)，从而达到证明不等式的目的，这时常常需要构造辅助函数来解决．题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，这里给出几种常用的构造技巧． 二．解题策略

类型一 “比较法”构造差函数证明不等式

【例1】【2018届广州模拟】已知函数f?x?＝e－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在点(0,1)处

x的切线斜率为－1.

(1)求a的值及函数f?x?的极值； (2)证明：当x＞0时，x＜e. 【答案】见解析. 【解析】

2x

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(2)证明：令g?x?＝ex－x2，则g??x?＝ex－2x. 由(1)得g??x?＝f?x??f?ln 2?＞0， 故g?x?在R上单调递增．

所以当x＞0时，g?x?＞g?0?＝＞10，即x2＜ex. 【指点迷津】

当题目中给出简单的基本初等函数，例如f?x?＝x3，g?x?＝ln x，进而证明在某个取值范围内不等式

f?x??g?x?成立时，可以类比作差法，构造函数h?x?＝f?x?－g?x?或??x?＝g?x?－f?x?，进而证明h?x?min?0或??x?max?0即可，在求最值的过程中，可以利用导数为工具．此外，在能够说明g?x??0?f?x??0?的前提下，也可以类比作商法，构造函数h?x?＝ h?x?min?1???x?max?1?．【举一反三】【广东省佛山市南海区南海中学2018届考前七校联合体高考冲刺】已知函数

(Ⅰ) 设函数（Ⅱ）求证：当

，讨论函数时，

的单调性；

，

f(x)f(x)(?(x)=)，进而证明g(x)g(x)【答案】(1)见解析.(2)见解析. 【解析】

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（Ⅱ）要证当当当∴∴∵∴

，∴，即

，

成立，故原不等式成立．

，

在区间时，

时，时，

；当

时，

，∴

，即证

，令

成立；

，

，

上单调递增，

． ，

上单调递减，在区间

类型二 “拆分法”构造两函数证明不等式

【例2】【山东省青岛市2019届9月期初调研】已知函数(1)若

上存在极值，求实数m的取值范围；

.

(2)求证：当【答案】（1）【解析】

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时，

;（2）见解析

．