内容发布更新时间 : 2024/12/25 0:11:41星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
最新审定版资料 二次根式的化简及运算
一、二次根式基本运算
二次根式的乘除法
1. 积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。
ab=a·b(a≥0,b≥0) 2. 二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。
a·b=ab.(a≥0,b≥0) 3. 商的算术平方根的性质:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
aa=(a≥0,b>0) bb4. 二次根式的除法法则:两个数的算术平方根的商,等于这两个数的商的算术平方根。
aa=(a≥0,b>0) bb二次根式的加减法
需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。类似于合并同类项。
化简步骤:
(1)“一分”,即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数(或式)的分子、分母都化成质因数(或因式)的幂的积的形式;
(2)“二移”,即把能开得尽的因数(或因式),用它的算术平方根代替,移到根号外,其中把根号内的分母中的因式移到根号外时,要注意写在分母的位置上;
(3)“三化”,即化去被开方数中的分母。
二、二次根式的乘方
2
1. 将单独根式中的整式(数)部分,根式部分分别乘方,如计算(23)时,先将2
乘方,再将3乘方,结果再相乘;
2. 多项式的乘方注意使用乘方公式,同时也可以将其因式分解。 总结:
1. 乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还要考虑被开方数的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式;
2. 对于二次根式的加减,关键是合并同类二次根式,通常是先化成最简二次根式,再把同类二次根式合并。但在化简二次根式时,二次根式的被开方数应不含分母。
例题1 已知a,b,c,d,e五个实数的平均值为k,各数与k的差如下表:
a b c d e 欢迎下载! 最新审定版资料 x -13 -27 12 1 3(1)除实数a外,与k的差的绝对值最大的实数是 ; (2)求x的值。
解析:(1)直接求b、c、d、e与k的差的绝对值,比较大小即可;(2)根据题意,a-k=x,b-k=-
33,c-k=-33,d-k=23,e-k=,又有a+b+c+d+e33=5k,可求k的值。
答案:解:(1)∵|b-k|=|-=23,|e-k|=
13|=
3,|c-k|=|-27|=33,|d-k|=12313=, 33∴与k的差的绝对值最大的实数是c;
33,c-k=-33,d-k=23,e-k=, 33五式相加,得a+b+c+d+e-5k=x-3,又有a+b+c+d+e=5k,所以x-3=
(2)依题意,得a-k=x,b-k=-0,即x=3。
例题2 设2=a,3=b,用含a,b的式子表示0.54,则下列表示正确的是( ) A. 0.3ab B. 3ab C. 0.1ab D. 0.1ab 解析:先把0.54化为2、3的形式,再把a、b代入计算即可。 答案:解:∵0.54=0.3ab。故选A。
点拨:此题主要考查二次根式的化简,应化简到被开方数开不尽为止。
有条件的根式求值
利用已知条件进行二次根式的运算,关键是对所给条件进行适当的变形,条件的变形没有规律可循,要根据题目需要,运用所学知识适当变形。
例题 已知x、y为正数,且x(的值。
解析:要求代数式的值,首先将分子分母的字母统一成一种,因此要整理已知条件,设法将其中一种字母用另一种表示,然后代入代数式中,约分即可。
答案:由已知条件得x-2xy-15y=0。∴(x+3∵x+3∴x=5
2
2
0.09?2?3=0.32?3,2=a,3=b,∴0.54=
x+=3y(x+5y),求y)
2x?xy?3yx?xy?yy)(x-5y)=0,
y>0,∴x-5y=0, y,x=25y,
欢迎下载! 最新审定版资料 ∴
2x?xy?3yx?xy?y=
50y?5y?3y58y==2。
25y?5y?y29y
赋予新定义
解决赋予一个新的运算定义的一类题,关键是理解新定义运算的含义,继而进行综合运算。
例题 若a+b=2,则称a与b是关于1的平衡数。
(1)3与 是关于1的平衡数,5-2与 是关于1的平衡数; (2)若(m+3)×(1-3)=-5+33,判断m+3与5-3是否是关于1的平衡数,并说明理由。
解析:(1)根据所给的例子,可得出平衡数的求法,由此可得出答案;(2)根据所给的等式,解出m的值,进而再代入判断即可。
答案:(1)由题意得,3+(-1)=2,5-2+(-3+2)=2, ∴3与-1是关于1的平衡数,5-2与-3+2是关于1的平衡数。 (2)不是。理由如下:∵(m+3)×(1-3)=m-3m+3-3, 又∵(m+3)×(1-3)=-5+33,∴m-3m+3-3=-5+33, ∴m-3m=-2+23。
即m(1-3)=-2(1-3), ∴m=-2。
∴(m+3)+(5-=3
∴(m+3)与(5-3)不是关于1的平衡数。
(答题时间:45分钟)
一、选择题 1. 化简a3)
=(-2+3)+(5-3)
?3的结果是( ) aB. 3a
C. ??3a
D. ?3
A. ?3a
22. 下列运算错误的是( ) A. -(??)=π C. 10?2=10=0.1
-1
2
B.(?0.2)=0.2
D.(32)=3×(
2
22)2=18
*3. 估算
50?232的值( )
B. 在0与2之间 D. 在3与4之间
A. 在0与1之间 C. 在2与3之间
**4. 已知y1=2x,y2=
2222,y3=,y4=…,y2014=,则y1?y2014等于( ) y1y2y3y2013欢迎下载!