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2012学年长宁、嘉定区高三年级第二次模拟考试

数学试卷（理）

一．填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题4分） 1．函数f(x)?sin(2x??3)的最小正周期是__________．

2．若关于x的不等式2x2?3x?a?0的解集为(m,1)，则实数m?_________． 3．已知集合A???1,0,a?,B?x1?3?3，若A?B??，则实数a的取值范围

x??是 ． 4．已知复数z满足

1i＝3，则复数z的实部与虚部之和为__________． z?1220132013C2013?___________．

5．求值：1?2C2013?4C2013???(?2)6．已知向量a?(?2,2),b?(5,k).若|a?b|不超过5，则k的取值范围是____________．

ax7．设a?0,a?1，行列式D?21031中第3行 开始 24?3k?1 否 第2列的代数余子式记作y，函数y?f?x?的反函 数图像经过点?2,1?，则a? ． 8．如图是一个算法框图，则输出的k的值

是 _______． 9．已知cos(???)?且??(0,k2?6k?5?0 是 输出k k?k?1 35,sin???， 5132,0)，则sin??______．

结束 ?2),??(??第 8题

??1?x2,x?[?1,0)10．设函数f(x)??，则将y?f(x)的曲线绕x轴旋转一周所得

??1?x,x?[0,1]几何体的体积为____________．

11．抛掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数是偶数的事件为A，向上的点数大于2

且小于或等于5的事件为B，则事件A?B的概率P(A?B)?____________．

?1(x?1)?12．设定义域为R的函数f(x)??|x?1|，若关于x的方程

??1(x?1)22?____________．?x3f2(x)?bf(x)?c?0有三个不同的实数解x1,x2,x3，则x12?x2

(x?1)2?sinx13.函数f(x)?的最大值和最小值分别为M,m，则M?m?______． 2x?1 1

2Sn214．设Sn为数列?an?的前n项和，若不等式a?2?ma1对任意等差数列?an?及任意正

n整数n都成立，则实数m的最大值为_______.

2n二．选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题5分）

????????15. 已知A(a1,b1)，B(a2,b2)是坐标平面上不与原点重合的两个点，则OA?OB的充要

条件是 （ ） bbabA．1?2??1 B.a1a2?b1b2?0 C.1?1 D.a1b2?a2b1 a1a2a2b216.关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是

（ ）

A．若l//?,????m,则l//m B．若l??,l//?,则??? C．若l//?,m//?,则l//m D．若l//?,m?l，则m??

y217. 过点P(1,1)作直线l与双曲线x??1交于A、B两点，使点P为AB中点，则这样

22的直线l （ ） A．存在一条，且方程为2x?y?1?0 B．存在无数条 C．存在两条，方程为2x??y?1??0 D．不存在 18.已知a?0且a?1，函数f(x)?loga(x?x2?b)在区间(??,??)上既是奇函数又是

增函数，则函数g(x)?loga|x|?b的图象是 ( )

三．解答题（本大题满分74分，共5小题）

19.（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）

如图：已知AB?平面BCD，BC?CD，AD与平面BCD所成的角为30?，且AB?BC?2． （1）求AD与平面ABC所成角的大小； （2）求点B到平面ACD的距离．

2

A

B C

D

20. （本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）

在△ABC中，角A，B，C所对应的边a，b，c成等比数列． （1）求证：0?B??31?sin2B（2）求y?的取值范围．

sinB?cosB

21.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）

设函数f(x)?a?(k?1)a（1）求k的值； （2）若f(1)?x?x；

(a?0且a?1)是定义域为R的奇函数．

32x?2x，且g(x)?a?a?2m?f(x)在[1,??)上的最小值为?2，2求m的值．

22.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）

如图，已知点F(0,1)，直线m：y??1，P为平面上的动点，过点P作m的垂线，

????????????????垂足为点Q，且QP?QF?FP?FQ．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过轨迹C的准线与y轴的交点M作直线m?与轨迹

yFOxC交于不同两点A、B，且线段AB的垂直平分线与y轴的

交点为D(0,y0)，求y0的取值范围；

m（3）对于（2）中的点A、B，在y轴上是否存在一点D，使得△ABD为等边三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题6分）

已知三个互不相等的正数a，b，c成等比数列，公比为q．在a，b之间和b，c之间共插入n个数，使这n?3个数构成等差数列．

（1）若a?1，在b，c之间插入一个数，求q的值；

（2）设a?b?c，n?4，问在a，b之间和b，c之间各插入几个数，请说明理由；

（3）若插入的n个数中，有s个位于a，b之间，t个位于b，c之间，试比较s与t的大小．

3

2012学年长宁、嘉定区高三年级第二次模拟考试

数学试卷（参考答案）

一、填空题（每小题4分，共56分） 1．? 2。

14 3。(0,1) 4。 5。?1 6.[?2,6] 7。4 238． 6 9。

3351 10。? 11． 12。5 13。2 14．

6565二、选择题（每小题5分，共20分） 15．B 16。B 17。D 18。A

三、解答题

19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分） 解：（1）因为AB?平面BCD，所以AB?CD，又BC?CD，所以CD?平面ABC， ?DAC就是AD与平面ABC所成的角． ………………2分 因为AB?平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30?，故?ADB?30?， 由AB?BC?2，得AD?4，AC?22， ………………4分 所以cos?DAC?AC2?， AD2所以AD与平面ABC所成角的大小为45?． ………………6分

（2）设点B到平面ACD的距离为d，由（1）可得BD?23，CD?22， 则VA?BCD?1142S?BCD?AB??BC?CD?AB?，………………8分 363114VB?ACD?S?ACD?d??AC?CD?d?d．………………10分

363由VA?BCD?VB?ACD，得d?2．

所以点B到平面ACD的距离为2．………………12分

20．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分） 解：（1）由已知，b?ac，所以由余弦定理，

2a2?c2?b2a2?c2?ac?得cosB? ………………2分

2ac2ac2ac?ac122由基本不等式a?c?2ac，得cosB??．………………4分

2ac2??1?所以cosB??,1?．因此，0?B?．………………6分

3?2?

4

1?sin2B(sinB?cosB)2???（2）y???sinB?cosB?2sin?B??，

sinB?cosBsinB?cosB4??………………9分

由（1），0?B?所以，y??3，所以

????2?7???sinB??,1?， ，所以?B?????4??24412???1?sin2B的取值范围是1,2． ………………12分

sinB?cosB?? 21．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分） 解：（1）由题意，对任意x?R，f(?x)??f(x)， 即a?x?(k?1)ax??ax?(k?1)a?x， ………………2分

x?x即(k?1)(a?a)?(ax?a?x)?0，(k?2)(ax?a?x)?0，

因为x为任意实数，所以k?2． ………………4分

解法二：因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)?0，即1?(k?1)?0，k?2． 当k?2时，f(x)?a?ax?x，f(?x)?a?x?ax??f(x)，f(x)是奇函数．

所以k的值为2． ………………4分 （2）由（1）f(x)?a?ax?x，因为f(1)?313，所以a??， 2a2解得a?2． ………………6分 故f(x)?2?2令t?2?2x?xx?x，g(x)?22x2x?2?2x?2m(2x?2?x)，

，则2?3??2?2x?t2?2，由x?[1,??)，得t??,???，

?2?22所以g(x)?h(t)?t?2mt?2?(t?m)?2?m，t??2?3?,??? ?2?………………9分

39?3??3?时，h(t)在?,???上是增函数，则h????2，?3m?2??2， 24?2??2?25解得m?（舍去）． ………………11分

1232当m?时，则f(m)??2，2?m??2，解得m?2，或m??2（舍去）．

2当m?………………13分

综上，m的值是2． ………………14分

5