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2020江苏高考数学模拟考试

数学Ⅰ

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上． ．．．．．．．．．1．若函数y?cos(?x??3)(??0)的最小正周期是?，则?? ▲ ．

2．若复数(1?2i)(1?ai)是纯虚数，则实数a的值是 ▲ ．

3．已知平面向量a?(1,?1)，b?(x?2,1)，且a?b，则实数x? ▲ ．

4．一个袋中有3个大小质地都相同的小球，其中红球1个，白球2个，现从袋中有放回地取球，每．．．次随机取一个，则连续取两次都是白球的概率是 ▲ ． 5．右图是某程序的流程图，则其输出结果为 ▲ ． 6．给出下列四个命题：

（1）如果平面?与平面?相交，那么平面?内所有的直线都与平面?相交

（2）如果平面?⊥平面?，那么平面?内所有直线都垂直于平面? （3）如果平面?⊥平面?，那么平面?内与它们的交线不垂直的直

线与平面?也不垂直

（4）如果平面?不垂直于平面?，那么平面?内一定不存在直线垂

直于平面?

（第5题） 真命题的序号是 ▲ ．（写出所有真命题的序号） ．．．

x2y27．已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离

ab心率为 ▲ ．

8．已知二次函数f(x)?ax2?4x?c?1的值域是[1,??)，则

开始 S?0k?1 k?2011 否 是 S?S?1 k(k?1)输出S 结束 k?k?119?的最小值是 ▲ ． ac9．设函数f(x)??x3?3x?2，若不等式f(3?2sin?)?m2?3m对任意??R恒成立，则实数m的取值范围为 ▲ ．

?2x?y?4n?m?10．若动点P(m,n)在不等式组?x?0表示的平面区域内部及其边界上运动，则t?的取

m?1?y?0?值范围是 ▲ ．

11．在?ABC中，AB边上的中线CO?2，若动点P满足AP?则(PA?PB)?PC的最小值是 ▲ ．

12．设D是函数y?f(x)定义域内的一个区间，若存在x0?D，使f(x0)??x0，则称x0是f(x)的

一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在次不动点．若函数f(x)?ax2?3x?a?12sin??AB?cos2??AC(??R)，25在区间2

[1,4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是 ▲ ．

13．将所有的奇数排列如右表，其中第i行第j个数表示为aij，例如a32?9．若

aij?445，则i?j? ▲ ．

14．若实数a,b,c成等差数列，点P(?1,0)在动直线ax?by?c?0上的射影为M，点N(3,3)，则线段MN长度的最大值是 ▲ ．

1 3 5 7 9 11 ……

（第12题）

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、．．．．．．．证明或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a,b,c，且2acosB?ccosB?bcosC． （1）求角B的大小；

（2）设向量m?(cosA,cos2A)，n?(12,?5)，求当m?n取最大值时，tan(A?

16．（本小题满分14分）

如图，直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，?BAD??ADC?90?，

AB?2AD，CD?AD．

（1）求证：?B1CB是二面角B1?AC?B的平面角；

（2）在A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论．

17．（本小题满分14分）

某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知

该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其它费用为每小时m元，根据市场调研，得知m的波动区间是[1000,1600]，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．

（1）请将从甲地到乙地的运输成本y（元）表示为航行速度x（海里/小时）的函数； （2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？

18．（本小题满分16分）

已知中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆C过点M(2,1)，离心率为直线l交椭圆C于不同的两点A,B．

A1 D1 A D C C1 B1

?4)的值．

B

3．如图，平行于OM的2

（1）当直线l经过椭圆C的左焦点时，求直线l的方程； （2）证明：直线MA,MB与x轴总围成等腰三角形．

19．（本小题满分16分）

已知函数f(x)?12ax?(2a?1)x?2lnx，其中常数a?0． 2（1）求f(x)的单调区间；

（2）如果函数f(x),H(x),g(x)在公共定义域D上，满足f(x)?H(x)?g(x)，那么就称H(x) 为f(x)与g(x)的“和谐函数”．设g(x)?x2?4x，求证：当2?a?函数f(x)与g(x)的“和谐函数”有无穷多个．

20．（本小题满分16分）

已知无穷数列{an}的各项均为正整数，Sn为数列{an}的前n项和．

（1）若数列{an}是等差数列，且对任意正整数n都有Sn??Sn?3成立，求数列{an}的通项公式；

35时，在区间(0,2]上，2（2）对任意正整数n，从集合{a1,a2,,an}中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运

,an一起恰好是1至Sn全体

算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a1,a2,正整数组成的集合．

（i）求a1,a2的值；（ii）求数列{an}的通项公式．

数学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指．．．．．．．．．．

定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．．．A．选修4?1：几何证明选讲

如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，

垂足分别为C、D，且PC?PD，求证：PB平分∠ABD．