内容发布更新时间 : 2024/5/4 1:11:34星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

§8.8 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离

最新考纲 考情考向分析 本节是高考中的必考内容，涉及用向量法计算1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题. 2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 空间异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角及空间距离等内容，考查热点是空间角的求解.题型以解答题为主，要求有较强的数学运算素养，广泛应用函数与方程思想、转化与化归思想.

1.两条异面直线所成角的求法

设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

范围 求法

2.斜线和平面所成的角

(1)斜线和它在平面内的射影的所成的角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角). (2)斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角. 3.二面角

(1)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

(2)在二面角α—l—β的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α—l—β的平面角. 4.空间向量与空间角的关系

(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|. (2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|. (3)求二面角的大小

→1°如图①，AB、CD是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB，→CD〉.

l1与l2所成的角θ a与b的夹角β [0，π] cos β＝a·b |a||b|?0，π? ?2?|a·b|cos θ＝ |a||b|

2°如图②③，n1，n2分别是二面角α—l—β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ

满足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉. 概念

1.利用空间向量如何求线段长度？

提示 利用|AB→|2＝AB→·AB→

可以求空间中有向线段的长度. 2.如何求空间点面之间的距离？ 提示 点面距离的求法：

方法微思考